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分段函数模型在实际问题中的应用
湖南省武陵源一中高飞(高级教师) 邮编:427400 电话:**********
数学应用意识的考查是高考命题的指导思想,考查应用意识是通过解答应用问题来体现的,考查的重点是客观事物的数学化,这个过程主要是依据现实生活的背景,提炼相关的数量关系,构造数学模型,将现实问题转化为数学问题,并加以解决。本文就分段函数模型在几种实际问题中的应用举例加以说明,供同学们学****时参考。
醉酒驾车问题
举例1. 某驾驶员喝了m升酒后,血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似地满足表达式f(x)=。《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定: 。(精确到1小时)
分析:本题为分段函数型。根据解答分段函数“对号入座”的解题原则,分别利用两段函数表达式求解。
解析:当0≤x≤1时,f(x)为增函数,f(x)≥50-2=>;当x>1时, f(x)=≤≤,3x≥30, 33=27<30, 34=81>30,x≥4,故该驾驶员至少要过4小时后才能开车.
二工作安排问题
举例2 某车间有50名工人,要完成150件产品的生产任务,每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成,每个工人每小时能加工5个A型零件或者3个B型零件,现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整),每组加工同一种型号的零件。设加工A型零件的工人人数为x名().
⑴分别用含x的式子表示完成A型零件加工所需时间和完成B型零件加工所需时间;
⑵为了在最短时间内完成全部生产任务,x应取何值?
解析: ⑴生产150件产品,需加工A型零件450个,则完成A型零件加工所需时间f(x)=
. 生产150件产品,需加工B型零件150个,则完成B型零件加工所需时间g(x)=.
(2)设完成全部生产任务所需时间为h(x)小时,则h(x)为f(x)与g(x)的较大者。令f(x)≥g(x),即≥,解得1≤x≤≤x≤32时,f(x)>g(x),当33≤x≤49时,f(x)<g(x)。故h(x)=。当1≤x≤32时,h(x)在[1,32]上单调递减,则h(x)在[1,32]上的最小值为h(32)=(小时),当33≤x≤49时,故h(x)在[33,49] 上单调递增,则h(x)在[33,49] 上的最小值为h(33)= (小时).因为h(33)> h(32),所以h(x)在[1,49] 上的最小值为h(32).所以x=,x应取32.
点评:本题主要考查分段函数,反比例函数及其性质等基本知识,同时考查数学建模能力及应用意识。本题的理解有一定难度。
三学生听课注意力问题
举例3 通过研究学生的学****行为,心理学专家发现学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散。设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大,表明学生注意力越集中),经过试验分析得知: f(t)=
讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟?
讲课开始25分钟与讲课开始5分钟时,学