131-组合(理)(基础).docx

131-组合(理)(基础).docx【学****目标】.【要点梳理】要点一:组合1・定义:一般地,从"个不同元素中取出〃7(m<n)个元素并成一组,:从排列与组合的定义可知,一是“取出元素”;二是“并成一组”,“并成一组”,而组合与元素的顺序无关,,那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合;只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合•因此组合问题的本质是分组问题,:组合数及其公式1•组合数的定义:从zr个不同元素中取出加(m<n)个元素的所有组合的个数,;.要点诠释:“组•合”与“组•合数”是两个不同的概念:一个组合是指“从n个不同的元素中取出m(mWn)个元素并成一组”,它不是一个数,而是具体的一件事;组合数是指“从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有组合的个数”,,从3个不同元素a,b,c中取出2个元素的组合为ab,ac,be,其中每一种都叫做一个组合,:,可以按以下两步来考虑:第一步,先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数C:;第二步,求每一个组合中m个元素的全排列数A;;.根据分步计数原理,得到A;:=C:•A:・,=空=如_1)5-2”・0_加+1)ml这里n,meN.,且ni^n,= " ,所以组合数公式还可表示为:(n一m)!要点诠释:组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法I在以后学****排列组合的混合问题时,一般都是按先取后排(先组合后排列)的顺序解决问题。组合数公式:=zz(»-l)(n-2)-(n-m+l)(机必 且”口)A: 加(2) C;=一-— (m、HGM,且m<n)要点诠释:上面第一个公式一般用于计算,但当数值眈、77较大时,利用第二个式子计算组合数较为方便,在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时,:组合数的性质性质1:C:=CJ”(m、nwN+,且m<n)性质2:C:;严C:+C;「5、neN+,且m<n)要点诠释:规定:C;)=、纯组合问题常见题型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,:现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表,若男甲、女A都必须当选,有多少种不同的选法?由于男甲、女A必须当选,只需从剩下7人中任选3人即可满足题目的要求,故有C;=35种不同的选法.(2) “至少”或“最多”含有几个元素的题型:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,,但通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,(1)中,将问题改为至少有一名女同学当选,有多少种不同的选法?则在全部的选法中,排除全部男生当选的情况即可,故有C;-C;=125种不同的选法.(3)分堆问题①平均分堆,其分法数为:平分到指定位置堆数的阶乘例如将6本不同的书平均分成三份,每份两本,,其分法为弩和.②分堆但不平均,其分法数为分到指定位置相同数量的堆数阶乘之积例如,将12本不同的书分成五份,分别为2本、2本、2本、3本、3本,,分到指定位置数为-其中两本的有三堆,故除以3!;3本的有两堆,要除以2!,故分法数为宝述3!・2!(4),可先全排,再除以定序元素的全排,或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列,:5人站成一排,如果甲必须站在乙的左边,则不同的排法有多少种?法一:5人不加限制的排列方法有念种,“甲在乙的左边”和“甲在乙的右边”的排法是相对的,所以甲必须在乙的左边的排法有^=60(种).法二:第一步,在5个位置中选2个位置给甲、乙二人有C;种选法;第二步,剩下三个位置由剩下三人全排,有屈种排法,共有CpA?=60(种);法三:从5个位置选3个位置由除甲、乙两人之外的三人排列有7^=60种(剩下两个位置,甲、乙随之确定).(5)指标问题用“隔板法3女口,将10个保送生预选指标分配给某重点中学高三年级六个班,每班至少一名,共有多少种分配方案?将10个名额并成一排,名额之间有9个空,用5块隔板插入9个空,就可将10个名额分为6部分,每一种插法就对应一种分配法,故有C;:隔板