截长补短法例题.doc

蒈截长补短法莃已知,如图1-1,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠:∠BAD+∠BCD=180°.蕿分析:因为平角等于180°,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”:过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DF⊥BC于点F,如图1-2肆肂图1-1∵BD平分∠ABC,∴DE=DF,薀罿图1-2在Rt△ADE与Rt△CDF中,蒅袂∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠∠BAD+∠DAE=180°,∴∠BAD+∠DCF=180°,肇即∠BAD+∠BCD=180°袅已知,如图3-1,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,AB+BC=:∠BAP+∠BCP=180°.葿分析:与例1相类似,证两个角的和是180°,可把它们移到一起,让它们是邻补角,即证明∠BCP=∠EAP,因而此题适用“补短”:过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图3-2莄莃图3-1∵∠1=∠2,且PD⊥BC,∴PE=PD,蒀在Rt△BPE与Rt△BPD中,薈螃图3-2肃∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),∴BE=∵AB+BC=2BD,∴AB+BD+DC=BD+BE,∴AB+DC=BE即DC=BE-AB=△APE与Rt△CPD中,螄荿∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),∴∠PAE=∠PCD聿又∵∠BAP+∠PAE=180°,∴∠BAP+∠BCP=180°袆如图2-1,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠:CD=AD+:结论是CD=AD+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”,即在CD上截取CF=CB,只要再证DF=DA即可,这就转化为证明两线段相等的问题,从而达到简化问题的目的.***芆图2-1证明:在CD上截取CF=BC,如图2-2肁在△FCE与△BCE中,芈袆∴△FCE≌△BCE(SAS),∴∠2=∠∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°,∴∠DCE+∠CDE=90°,蒂羀图2-2∴∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°,∴∠3=∠△FDE与△ADE中,螅膂∴△FDE≌△ADE(ASA),∴DF=DA,羁∵CD=DF+CF,∴CD=AD+-1已知:如图4-1,在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠:AB=AC+:从结论分析,“截长”或“补短”都可实现问题的转化,即延长AC至E使CE=CD,或在AB上截取AF=:方法一(补短法)蚃袀图4-2延长AC到E,使DC=CE,则∠CDE=∠CED,如图4-2袇∴∠ACB=2∠E,莇∵∠ACB=2∠B,∴∠B=∠E,莃在△ABD与△AED中,袁羆∴△ABD≌△AED(AAS),∴AB=AE