《线性代数》第7章习题解答new3-1.doc

螈****题七(P274-276)薆设,以下哪些函数定义了的一个内积?芄(1),否膀(2),是肁(3),否羅(4),(1)()腿(2)()虿(3)(√)螅(4)()芃(5)(√)莇设是正定矩阵,在中对任两个向量,,定义,证明:在这个定义下构成欧氏空间,并写出这个空间的柯西——:(1)蒅(2)肀(3)设:蚀(4)由的正定性知,当且仅当时,,即,从而在定义下构成欧氏空间。——施瓦兹不等式为薈在中,求之间的夹角(内积按对应分量乘积之和).芆(1)肂(2)螈解:(1)羇(2),:设所求向量为,应有:膁解之得:,莆又,得:,蚆把向量组标准正交化(内积为对应分量乘积之和):,羁,。艿解:,取:袆,,膃取,肂,即为所求。莇次数不超过3的所有实系数多项式,根据芅构成一欧氏空间,试求它的一个标准正交基(由基出发作正交化)。羃解:为欧氏空间的一个基,现将其标准正交化.,(此处),取:肃,,;取,,;,螀;:的解空间(作为的子空间)的一组标准正交基。蚃解:解方程组,得解空间的一组基,袁,,。袈将其标准正交化:,莈取,蒄;羂取,芁;,证明:,,也是一组标准正交基。羃证明:,为单位向量,又:荿,类似有:芇,,且可以由线性表示,证明若与每一个正交,:由可以由线性表示得知,存在一组数使螁又与正交,,从而。蚆在欧氏空间V中,,如果任意有,证明:。蚅证明:对任意,即,由10知,,:必要性显然,,可由线性表示,即存在,使:,羈,,是中一固定向量。证明:膆(1)是的子空间;(2):莀(1)对任意,,对任意常数,,从而为的子空间。膈(2)由定理4知可扩充为的一组正交基,易知:。对任意,可由线性表示。即存在使,又,知,即:袆,故即可由线性表示。为的一组基。 :葿在最小二乘意义下,:设所求直线方程为,将值代入得:莂,,,,,(保留三位有效数字)。袁解:,,,最小二乘解:。以下无正文仅供个人用于学****研究;不得用于商业用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;、研究;不得用于商业用途。NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,'étudeetlarechercheuniq