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解析几何中有关参数范围问题的求解策略
曾庆宝
解析几何中的参数范围问题是平时考试和高考中的重要考查内容,但这一类题综合性强、变量多、涉及知识面广,是难点问题。解答这类问题往往运用函数思想、方程思想、数形结合思想等,将问题转化为求函数的值域划最值等来解决。
一. 运用数形结合探求参数范围
例1. m为何值时,直线与半椭圆只有一个公共点?
分析:因为椭圆为半条曲线,若利用方程观点研究这类问题,则需转化成根的分布问题,较麻烦且易出错。若用数形结合的思想来研究则直观易解。如图,是直线系中的三条直线,这三条直线是直线系中的直线与半椭圆交点个数的“界线”,在与之间的直线(含,不含)及都是与半椭圆只有一个公共点的直线,而m是这些直线在y轴上的截距,由此可求m的范围。
解:过,则
过,则
由得到关于x的一元二次方程。
利用△=0得
综上所得,或
二. 构建函数关系探求参数范围
例2. P、Q、M、N四点都在椭圆上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点。已知与共线,与共线,且。求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。
分析:显然,我们只要把面积表示为一个变量的函数,然后求函数的最值即可。
解:如图,由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦,相交于焦点F(0,1),且PQ⊥MN,直线PQ、MN中至少有一条存在斜率,不妨设PQ的斜率为k,又PQ过点F(0,1),故PQ方程为。代入椭圆方程得
设P、Q两点的坐标分别为,则
从而
①当时,MN的斜率为,同上可推得
故四边形面积
令,得
因为,此时,且S是以u为自变量的增函数,所以。
②当时,MN为椭圆长轴,
综合①②知,四边形PMQN面积的最大值为2,最小值为。
三. 构造含参数不等式探求参数范围
例3. 已知抛物线,过M(a,0)且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B,。
(1)求a的取值范围;
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值。
分析:这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题,对于(1),可以设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即“求范围,找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围。对于(2)首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值。
解:(1)直线的方程为:,将代入抛物线方程,设得
设直线与抛物线两交点的坐标分别为,则
,并且
又
所以
解得:
(2)令AB中点为Q,
即△NAB的面积的最大值为。
例4. 已知梯形ABCD中,,点E满足,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点。当时,求双曲线离心率e的取值范围。
分析:显然,我们只要找到e与的关系,然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e的范围。
解:如图建立坐标系,CD⊥y轴,因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。
依题意,记,其中为双曲线的半焦距,h是梯形的高。
由,即
解得:
设双曲线的方程为,则离心率
由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和代入双曲线的方程得:
将<1>式代入<2>式,整理得:
故
依题设得:
解得:
所以双曲线的离心率的取值范围是
四. 运用几何性质探求参数范围
例5. 已知椭圆,A、B是椭圆上的两点