5用函数方程定义初等函数.doc

在上节中我们看到,某些函数方程的解恰是基本的初等函数. 例如,函数方程(101)
的解是对数函数
.
一般说来,如果有某两个单调函数都满足这个函数方程,那末它们都是对数函数,差别只在于对数的底a不同而已(为了保证解的唯一性,可以给出补充条件). 这说明,函数方程(101)刻划了对数函数的特有属性. 从这个函数方程出发,而不必从对数函数的通常定义出发,我们同样可以推出对数函数的一系列性质. 现在对照排列如下:
因此,我们可以用函数方程来定义对数函数,也就是说,把对数函数定义为函数方程
的解.
类似地,如我们在上节所讨论的,还可以把正比例函数定义为函数方程
(79)
的解. 把一次函数定义为函数方程
(9)
的解. 把指数函数定义为函数方程
(16)
的解.
不仅如此,用函数方程同样能定义其他基本初等函数,例如幂函数和三角函数.
本节我们主要讨论用函数方程定义余弦函数. 由于余弦函数在整个实轴上不再具有单调性,本节里,我们将用连续性来代替单调性这个条件.
什么叫函数的连续性?设x0是某区间上的一点. 如果当时,
,
就说函数在点x0连续. 在区间上每一点都连续的函数,叫做在这个区间上的连续函数. 连续函数的图象是一条没有间隙的连续曲线.
我们知道,在三角学中有公式
这启示我们可以把余弦函数定义为函数方程
(15)
的解(这个函数方程我们在第1节的例3中曾遇到过了).
为了使函数方程(15)的解具有唯一性,还需给出下列条件:
.
=0有一个最小正根存在. 就是说
(113)
而当时,
. (114)
3. (115)
(顺便指出,如果将这三个条件加以改变,函数方程(15)将定义另外的函数,例如可以用来定义一种叫做双曲余弦的函数.)
现在,我们从(15)和上述三条性质来证明,函数具有一系列性质,这些性质和我们通常所知道的余弦函数cos x的性质完全一样.
性质1 (对于余弦函数,我们知道cos0=1)
证明在函数方程(15)中,令x=y=0. 就有
但由(115)知道, 所以得
性质2 函数是偶函数:
=.
[对于余弦函数,有cos x= cos (-x)]
证明在函数方程(15)中,令x=0,便得
注意到,就有
性质3 [对于余弦函数,有]
证明因为
但所以
性质4 (对于余弦函数,有)
证明如果x=0,由性质3和1,得
性质5 (对于余弦函数,有).
证明因为
∴
性质6 (对于余弦函数,有)
证明在性质5的等式中,用代x就行了.
性质7 是以2c为周期的周期函数. (余弦函数cos x是以2π为周期的周期函数)
证明以x+c代x. 根据性质3有
(116)
可见2c是的周期. 我们进一步证明,2c是的最小正周期.
倘若不然. 假定也是的正周期,将导致矛盾. 事实上,因为2c,2 l都是周期,所以有
在(116)中令x=0,并根据性质1,就有
∴
此外,在函数方程(15)中,令x=y=l,又得
因而
即
我们分别研究这两种情形.
如果f(l)=1. 考虑到性质4,就有
由函数方程(15),上式左边可化为积的形式:
根据性质3和2,可得
代入上式,化简后得
或
因为,可见是方程的一个比还小的正根. 这和条件2矛盾.
如果在函数方程(15)中,令我们求得
也就是
∴
这也和条件2矛盾.
这就证明了2c是f (x)的最小正周期.
性质8 . (对于余弦函数,有)
证明仍采用反证法,假定对x的某个值x=a,有
于是
所以有
(117)
但是,另一方面,
所以又有
(118)
(117),(118)两式互相矛盾. 这就证明了性质8.
到现在为止,我们证明了满足函数方程(15)(和条件1~3)的函数,它具有与余弦函数相同的许多性质,并且显然也满足函数方程(15). 但是,我们还不能说这里的就是. 除非在证明了函数方程(15)的解的唯一性(并且取条件2中的常数),才能断言和恒等:,亦即对于任何实数x,都有=.
下面,我们来叙述并证明函数方程(15)的解的唯一性定理.
唯一性定理对于给定的正的常数c,不存在满足函数方程(15)和条件1~3的两个不同的函数.
证明设有两个函数和都满足函数方程(15)和条件1~3. 我们来证明实际上二者恒等:
分三步证明:
,当自变量x取数列
的值,函数和的值相等,即
事实上,由条件2有
从条件1~3得知
依次应用性质6,就得
,
一般地有(用数学归纳法容易证明)
这里
,当自变量时(n是任何自然数,m是任何整数),两个函数的值相等: