不等式的解法典型例题.doc

不等式的解法·典型例题 【例1】 解不等式:(1)2x3-x2-15x>0;(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0.【分析】 如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积,则一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)可用“区间法”求解,:(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)>,其解集如图(5-1)的阴影部分.(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0∴原不等式解集为{x|x<-5或-5<x<-4或x>2}.【说明】 用“区间法”解不等式时应注意:①各一次项中x的系数必为正;②对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重根的不等式,也可直接用“区间法”,但注意“奇穿偶不穿”.其法如图(5-2).【例2】 解下列不等式:变形解:(1)原不等式等价于用“区间法”∴原不等式解集为(-∞,-2)∪〔-1,2)∪〔6,+∞).用“区间法”【例3】 解下列不等式:【分析】 无理不等式的基本解法是转化为有理不等式(组)后再求解,:(1)原不等式等价于(2)原不等式等价于∴原不等式解集为{x|x≥5}.(3)原不等式等价于【说明】 解无理不等式需从两方面考虑:一是要使根式有意义,即偶次根号下被开数大于或等于零;二是要注意只有两边都是非负时,,有的还有其他解法,如上例(3).原不等式化为t2-2t-3<0(t≥0)解得0≤t<3【说明】 有些题目若用数形结合的方法将更简便.【例4】 解下列不等式:解:(1)原不等式等价于令2x=t(t>0),则原不等式可化为(2)原不等式等价于∴原不等式解集为(-1,2〕∪〔3,6).【说明】 ,否则会出现增解或漏解.【例5】 解不等式|x2-4|<x+2.【分析】 解此题关键是去绝对值符号,而去绝对值符号主要利用解:原不等式等价于-(x+2)<x2-4<x+(1,3).这是解含绝对值不等式常用方法.【例6】 解下列不等式:(2)中先解绝对值不等式,:(1)原不等式等价于log2(2x-1)〔-log2(2x-1)〕>-2令log2(2x-1)=t,则上述不等式变为t(-1-t)>-2即 t2+t-2<,得 -2<t<1,从而-2<log2(2x-1)<1.【例7】 解不等式log2x2-1(3x2+2x-1)<1.【分析】 题目中未知数出现在底数部分,:原不等式等价于【说明】 当时数底数含有字母或未知数时,应对其进行分类讨论.【例8】 解关于x不等式a+1<a+a,其中a>0且a≠1.【分析】 >1或0<a<:原不等式等价于(ax)2-(a2+a-2)ax+1<0(*)当a>1时,a2>a-2,于是(*)式得a-2<ax<a2,即-2<x<<a<1时,a-2>a2,于是(*)式得a2<ax<a-2,即-2<x<,原不等式解集为(-2,2).【说明】 本题在化成关于ax的二次不等式后,解题关键是利用a2·a-2=1进行因式分解.【例9】 设a>0;a≠1解关于x的不等式xlogax<a3x2.【分析】 这是指数与对数的混合型不等式,可采用“取对数法”.在两边取对数的时候用到对数函数的单调性,:当a>1时,原不等式两边取对数,得当0<a<1时,原不等式等价于①(1)当a>1时,①式等价于②(2)当0<a<1时,②等价于