Dirichlet型空间上Hankel算子和乘法算子.pdf

Dirichlet 型空间上 Hankel 算子
和乘法算子
耿莺歌
(师范学院数学教育系数学与应用数学专业 19962754)

§1 引言
n
用 B 记空间 C 中的单位球, ∂ B 为 B 的边界,H(B)记 B 上全纯函数的全体,用 v
记 B 上的规范化 Lebesgue 测度,σ为∂ B 上的规范化旋转不变测度。令
= − 2 1− p
dv ( z ) c P (1 z ) dv ( z ) ,
Γ(n + 2− p) 1
c = =
其中 p n!Γ(2− p) nB(n,2− p) .
2, p
在 B 上定义函数空间 L 为:
2
2, p =  2 = 2 + < ∞
L u u ( Ru(z) Ru(z) )dv p (z) .
 p ∫B 
n ∂ n ∂
R = z R = z j
其中∑ j ∂, ∑.
j =1 z j j=1 ∂z j
2, p
则 L 是再下面内积下的 Hilbert 空间:
= +
〈u,v〉 p 〈Ru, Rv〉 2 〈Ru, Rv〉 2
L (dv p ) L (dv p )
= 2, p Ι= { ∈= ∈ 2, p }
令 Dp L H(B),即Dp g H(B) g(0) 0, g L , 则此种
空间包含有 Dirichlet 型空间(p>0),Hardy 空间(p=0)和 Bergman 空间(p<0).
∈
对给定的 z B,由于空间上 Dp 上的赋值泛函 f(z)是有界线性泛函,则由 Riesz 表示定理,
∈
存在 K p (z, w) D p
∀∈
对 f D p ,
1
= •=
f (z) f , K p ( , z) Rf (w)RK p (w, z)dv p (w),
p ∫B
上式称为空间 Dp 上的再生公式, K p (z, w) 称为空间 Dp 的再生核.
α
β= 2 2  z 
令α,β z , 则就是空间 Dp 的标准正交基,且有
p β
α, p 
α>0
α
zα w
K (z,w) =
p ∑β.
αα, p
2, p
从空间 L 到 Dp 的正交投影定义为:
= •=
Pp (u)(z) u, K p ( , z) Ru(w)RK p (w, z)dv p (w) .
p ∫B
 1 
2 = →= ()2 2 < +∞
令 L (dv p ) f : B C f f (z) dv p (z) ,
 p ∫B 


2,1− p = 2 Ι
称 A L (dv p ) H (B) 为 B 上的 Bergman 空间,其再生核为:
1
k(z, w) =
(1− z, w )n+2− p ,
~
2 2,1− p
从 L (dv p ) 到 A 的正交投影记为 P p .
2,P
对任意的 f ∈ L ,我们按如下方式定义具有符号 f 的 Hankel 算子,小 Hankel 算子和
乘法算子:
( p) →⊥⊂ 2, p ( p) = −
H f : Dp Dp L : H f (g) (I Pp )( f g),
( p) →⊂ 2, p ( p) =
h f : Dp Dp L : H f (g) Pp ( f g),
( p) → 2 ( p) =
M f : Dp L (dv p ) : M f (g) fg,
2
⊥ 2,P
这里 Dp 是 Dp 在 L 中的正交补, D p 是 Dp 的共轭.
B 上的 Bloch 空间β定义为:满足
2
f = sup{(1− z ) R f (z) , z ∈ B}< +∞
B
β
的解析函数 f 的全体; B 上的小 Bloch 空间 0 定义为满足
2 −
−→→(P) (P)
(1 z ) Rf (z) 0 ( z 1 ) 的解析函数 f h f 或 M f 是有界
的,倘若存在常数 C > 0,使得对任意的
p p
g ∈ D , 有 h (g) ≤ C g 或 M (g) ≤ C g .
p f p p f p p
单复变中对 Dirichlet 型空间上 Hankel 算子和乘法算子的讨论有很精美的结果
([1],[2]),由于函数空间的特殊性,讨论方法与 Bergman
的是很多结