线性代数矩阵的秩.ppt

第六节矩阵的秩一:矩阵秩的概念任意取出k个行和k个列,定义1在一个矩阵A中,位于这些行及列的交叉处的元素按原来的位置组成一个k阶行列式,称其为矩阵A的一个k阶子式。例:矩阵取A的1、2、3行和A的1、2、4列得到A的一个3阶子式为取A的1、2、3、4行和A的1、2、3、4列得到A的一个4阶子式为注对一个矩阵显然有个k阶子式一共有定义2:矩阵A的不等于零的子式的最高阶数称为A的秩,并规定零矩阵的秩是零。记作秩为R(A),例矩阵A的所有4阶子式全为0(为什么?)有一个3阶子式不为0,故R(A)=3注:(1)事实上矩阵A是阶梯形矩阵,它的秩等于其非零行的个数。这对一般的阶梯形矩阵也成立。(2)矩阵秩显然有即一个矩阵的秩肯定小于等于矩阵行数和列数的最小者(3)A中所有r+1阶子式全为零A中所有大于r阶子式全为零A中有一个r阶子式不为零例1求矩阵A的秩,已知解:首先考查A的最高阶子式(这里为4阶且只有一个)即故n阶方阵A可逆的充分必要条件是秩定理1R(A)=n当n阶方阵A的秩为n时,也称A为满秩矩阵,否则称A为降秩矩阵。注(2)n阶方阵A不可逆(1)n阶方阵A秩为n(3)n阶方阵A不可逆证明不等式例3设A,B都是型矩阵,令例2试证对任意矩阵A,总有定理2矩阵经初等变换后其秩不变先证明:若A经一次初等行变换变为B,有证明:A~B,则R(A)=R(B).即R(A)R(B).设R(A)=r,则A有某个r阶子式记为当或时,相对应的r阶子式则在B中总能找到与因此从而二:利用初等变换求矩阵的秩且(1)满足当时,(2)由于对换时结论成立,这一特殊情况.(Ⅰ)(Ⅱ)若含第A第1行,这时也是B的r阶非零子式,故不含第A第1行,则若也是B的r阶子式,,故只需考虑故以上证明了若A经一次初等行变换变为B,则R(A)R(B).由于B亦可经一次初等行变换变为A故也有R(B)R(A).(A)=R(B).经一次初等行变换矩阵的秩不变,即可知经有限次初等故矩阵经初推论1一个矩阵的阶梯形中非零行的个数就是原矩阵的秩。为了计算矩阵A的秩,只要用初等行变换把A变成阶梯形即可。,已知解:法二故