第章材料非线性问题的有限元法PPT课件.ppt

第8章材料非线性问题的有限元法前面各章中,我们所讨论的问题都是线弹性力学问题。在线弹性力学中,位移与应变的关系(几何方程)是线性的,应变与应力的关系(本构方程)也是线性的。但是,工程中的许多问题的位移与应变、应变与应力的关系不满足上述线性关系,呈非线性状态。通常把不满足条件1的称为材料非线性,把不满足条件2,3的称为几何非线性。;2描述应变与位移关系的几何方程是线性的;,得到如下形式的一组代数方程即刚度方程[K]是节点位移向量{δ}的函数。材料非线性问题是由材料非线性应力应变关系引起的,通常表现为非线性弹性问题和弹塑性问题,此外还有与时间有关的应力应变关系。非线性弹性问题和弹塑性问题的塑性阶段呈现非线性物理性质。加载过程时,这两类问题的非线性性质是一样的。不同之处在于两点:一是弹塑性材料有一个从弹性到塑性的折点,二是卸载过程两者有完全不同的路径。在常应力状态下,变形随时间变化的特性成为粘性,变形随时间变化的现象称为徐变(蠕变)。这类问题包括粘弹性问题、粘弹塑性问题、徐变问题。对于材料非线性问题进行有限元分析,由于考虑的是小变形,平衡方程和几何关系依然成立,即但是物理方程是非线性的,可以写成如下的一般形式必须注意,由于小变形的关系,应力形式的平衡方程仍然是线性的,但是以结点位移列阵{δ}表示的平衡方程则不再是线性的了。因为应力{σ}和应变{ε}之间是非线性的,从而应力{σ}与位移{δ}之间也是非线性的;于是()式可以写成1牛顿-拉斐逊(Newton-Raphson)法任何具有一阶导数的连续函数Y(x),在xn点作一阶泰勒级数展开,它在xn点的线性近似公式是因此,非线性方程Y(x)=0在xn附近的近似方程是线性方程它的解是这就是牛顿-拉斐逊方法的迭代公式。牛顿-(a)所示,它要求在每次迭代时计算,因此计算工作量巨大。修正的牛顿-拉斐逊方法迭代公式是在每次迭代时Y’(x)值是不变的,(b)所示。牛顿-拉斐逊方法求解平衡方程的迭代过程结构的平衡方程式为简单起见,考虑单自由度系统。设Y(δ)=K(δ)δ-R=0,因为K是δ的函数,即K=K(δ)。令F(δ)=Kδ,于是用牛顿-拉斐逊方法求非线性方程Y(δ)=0的根,()式的迭代公式可以写成(e),给出了牛顿—拉斐逊迭代方法。曲线F=Kδ和直线F=R的交点A的横坐标是()式的精确解。迭代开始时按线性理论求解位移δ1作为第一次近似值,。如果载荷R不因变形而改变它的大小和方向,则有式中,KT是曲线F=Kδ的斜率,代表切线刚度。第二步,从B1点作曲线F=Kδ的切线交直线F=R于A2点,取A2点的横坐标是δ2。从图中看出由于得我们来叙述牛顿—拉斐逊方法求解()式的图解表示。把上式和(e)式比较可以看出,δ2就是位移的第二次近似。如此不断重复,则得迭代公式如下因此,(a)就是求解()式的图解表示。由于KT表示结构的切线刚度,因而牛顿—拉斐逊方法也称为切线刚度法。同样,修正的牛顿-(b)表示。由于每次迭代不改变它的刚度值,所以也称为等刚度法。2变刚度法(1)割线刚度法如果材料的应力应变关系能够表示成如下形式于是由()式,上式可以写成把上式代入()式,并利用()式,得把()。