黄昆固体物理习题解答.pdf

第一章、,设x表示钢球所占体积与总体积之比,证明结构x简单立方π/6≈≈≈六方密排2/≈金刚石3π/16≈:设钢球半径为r,根据不同晶体结构原子球的排列,晶格常数a与r的关系不同,分别为:简单立方:ar=2体积为:ar33=8,每个晶胞包含一个钢球,体积为:4/3πr3所以x=≈π/:34ar=体积为:ar33=(4/3),每个晶胞包含两个钢球,体积为:8/3πr3所以x=≈3/:24ar=体积为:ar33=(4/2),每个晶胞包含四个钢球,体积为:16πr3/3所以x=≈2/:arc==2,8/3a体积为:82r3,一个元胞内包含两个钢球,体积为8/3πr3所以x=≈2/:根据金刚石结构的特点,因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴,因此有3133⎛⎞84π3⋅=(3)ar2,所以晶胞体积为ar=⎜⎟,每个晶胞包含8个原子,体积为8⋅r,4⎝⎠333π则x=≈⎛⎞=≈⎜⎟⎝⎠3a/3a/2证明:如图所示,六方密堆结构的两个晶格常数为a和c。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构,其高度为a2ha=−22()=a338所以ch==2a≈:体心立方晶格的倒格子是面心立方;面心立方晶格的倒格子是体心立方。证明:体心立方格子的基矢可以写为aai=()−+j+k12aai=−+()jk22aai=+−()jk32面心立方格子的基矢可以写为aa=()j+k12aaki=()+22aai=()+j32根据定义,体心立方晶格的倒格子基矢为2πbaa=×()123υ2πaa=−+×+−[(ijki)(jk)](2)2a32π=++++−()kjkijia2π=+()jka同理2πbki2=()+a2πbi=()+j3a与面心立方晶格基矢对比,正是晶格常数为4/πa的面心立方的基矢,说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意,倒格子不是真实空间的几何分布,因此该面心立方只是形式上的,或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义,面心立方的倒格子基矢为2πbaa=×()123υ2πaa=[(ki+×)(i+j)](4)2a322π=−++()ijka同理2πbi2=()−+jka2πbi=()+−jk3a而把以上结果与体心立方基矢比较,这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。:倒格子原胞的体积为()2/πυc,其中υc为正格子原胞的体积。
证明:如果晶体原胞基矢为aa、、a,则原胞体积为132
υc=aaa123⋅×()根据定义,倒格子基矢为
2()2()ππaa23××aa312(πaa12×)bbb123===,,则倒格子原胞的体积为
∗υc=⋅bbb123()×2π3
=×⋅×××()(aa23)[()(aa31aa12)]υc2π3
=×⋅×⋅−×⋅()(aa23)({}[][]aaaa31))21(aaaa3112)υc2π3
=×⋅×⋅()(aa23)([]aaaa3121))υc(2π)3=υc
:倒格子矢量Ghbhbhb=+1122+33垂直于密勒指数为()hhh123的晶面系。证明:根据定义,密勒指数为()hhh123的晶面系中距离原点最近的平面ABC交于基矢的截距分别为
aaa123,,hhh123则
CA=−a11//ha33hCB=−a22//ha33h
如果Ghbhbhb=+1122+33分别垂直于CA和CB,则该矢量就垂直于平面上所有的直线,即为平面的法线。,证明密勒指数为(,,)hkl的晶面系,面间距d满足dahkl22222=/(++)其中a为立方边长。解:根据倒格子的特点,倒格子
∗
∗∗
Ghakblc=++与晶面族(,,)hkl的面间距有如下关系2πdhkl=Ghkl
因此只要先求出倒格点Ghkl,求出其大小即可。
由正格子基矢aai=,bbj=,cck=,可以马上求出:
2π
2π
2π
ai∗=,bj∗=,ck∗=abc因为倒格子基矢互相正交,因此其大小为
hklGhakblc=++=++(∗∗∗)()()2()()()222π222hklabc则带入前边的关系式,即得晶面族的面间距。,最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a,写出最近邻和次近邻的原子间距。3答:体心立方晶格的最近邻原子数