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第5讲动态规划
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学****要点:
理解动态规划算法的概念。
掌握动态规划算法的基本要素
(1)最优子结构性质
(2)重叠子问题性质
掌握设计动态规划算法的步骤。
(1)找出最优解的性质,并刻划其结构特征。
(2)递归地定义最优值。
(3)以自底向上的方式计算出最优值。
(4)根据计算最优值时得到的信息,构造最优解。
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通过应用范例学****动态规划算法设计策略。
(1)矩阵连乘问题;
(2)最长公共子序列;
(3)最大子段和
(4)凸多边形最优三角剖分;
(5)多边形游戏;
(6)图像压缩;
(7)电路布线;
(8)流水作业调度;
(9)背包问题;
(10)最优二叉搜索树。
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动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题
算法总体思想
n
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
T(n)
=
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但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时,有些子问题被重复计算了许多次。
算法总体思想
n
T(n)
=
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
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如果能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,就可以避免大量重复计算,从而得到多项式时间算法。
算法总体思想
n
=
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
n/2
n/2
T(n/4)
T(n/4)
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n)
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动态规划基本步骤
找出最优解的性质,并刻划其结构特征。
递归地定义最优值。
以自底向上的方式计算出最优值。
根据计算最优值时得到的信息,构造最优解。
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完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为:
设有四个矩阵,它们的维数分别是:
总共有五中完全加括号的方式
(1)单个矩阵是完全加括号的;
(2)矩阵连乘积是完全加括号的,则可
表示为2个完全加括号的矩阵连乘积和
的乘积并加括号,即
16000, 10500, 36000, 87500, 34500
完全加括号的矩阵连乘积
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矩阵连乘问题
给定n个矩阵, 其中与是可乘的, 。考察这n个矩阵的连乘积
由于矩阵乘法满足结合律,所以计算矩阵的连乘可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。
若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定,也就是说该连乘积已完全加括号,则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积
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矩阵连乘问题
给定n个矩阵{A1,A2,…,An},其中Ai与Ai+1是可乘的,i=1,2…,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
穷举法:列举出所有可能的计算次序,并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数,从中找出一种数乘次数最少的计算次序。
算法复杂度分析:
对于n个矩阵的连乘积,设其不同的计算次序为P(n)。
由于每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题:(A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下:
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