分式函数的图像和性质.doc

分式函数的图像与性质学****过程1、分式函数的概念形如的函数称为分式函数。如,,等。2、分式复合函数形如的函数称为分式复合函数。如,,等。※学****探究探究任务一:函数的图像与性质问题1:的图像是怎样的?例1、画出函数的图像,依据函数图像,指出函数的单调区间、值域、对称中心。【分析】,即函数的图像可以经由函数的图像向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到。如下表所示:由此可以画出函数的图像,如下:单调减区间:;值域:;对称中心:。【反思】的图像绘制需要考虑哪些要素?该函数的单调性由哪些条件决定?【小结】的图像的绘制,可以经由反比例函数的图像平移得到,需要借助“分离常数”的处理方法。分式函数的图像与性质(1)定义域:;(2)值域:;(3)单调性:单调区间为;(4)渐近线及对称中心:渐近线为直线,对称中心为点;(5)奇偶性:当时为奇函数;(6)图象:如图所示问题2:的图像是怎样的?例2、根据与的函数图像,绘制函数的图像,并结合函数图像指出函数具有的性质。【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间,奇偶性,周期性,凸凹性(此点不作要求),关键点坐标(最值点、与坐标轴交点)、辅助线(对称轴、渐近线)。绘图过程中需综合考虑以上要素,结合逼近与极限思想开展。解:函数的定义域为:;根据单调性定义,可以求出的单调区间增区间:减区间:函数的值域为:函数的奇偶性:奇函数函数图像的渐近线为:函数的图像如下:【反思】如何绘制陌生函数的图像?研究新函数性质应从哪些方面入手?【小结】分式函数的图像与性质:(1)定义域:;(2)值域:;(3)奇偶性:奇函数;(4)单调性:在区间上是增函数,在区间上为减函数;(5)渐近线:以轴和直线为渐近线;(6)图象:如右图所示例3、根据与的函数图像,绘制函数的图像,并结合函数图像指出函数具有的性质。【分析】结合刚才的绘图经验,不难绘制出的图像解:函数的定义域为:;根据单调性定义,可以判断出的单调性,单调增区间为:函数的值域为:函数的奇偶性:奇函数函数图像的渐近线为:函数的图像如下:【反思】结合刚才的两个例子,与的图像又是怎样的呢?思考与的图像是怎样的呢?的图像呢?函数的图像如下,绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。【注】,由于与的图像关于轴对称,所以还可以根据的图像,对称的画出的图像。同样的道理的图像与的图像关于轴对称,所以图像如下:【小结】的图像如下:(i)(ii)(iii)(iv)[来源:学+科+网Z+X+X+K]的单调性、值域、奇偶性等,可以结合函数的图像研究。探究任务二:函数的图像与性质问题3:函数的图像是怎样的?单调区间如何?【分析】所以的图像与的图像形状完全相同,只是位置不同。图像的对称中心为:单调增区间为:单调减区间为:值域:图像如下:【反思】函数的性质如何呢?单调区间是怎样的呢?【小结】对于分式函数而言,分子次数高于分母时,可以采用问题3中的方法,将函数表达式写成部分分式,在结合函数的图像的平移,由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像,再结合函数的