二项树定价模型(金融衍生品定价理论讲义).doc

第五章二项树定价模型

这一章我们讨论期权和期货的二项树定价模型,这一模型为理解衍生证券的定价和套期保值提供了简单但有力的饿方法。至今为止,有三种不同的期权定价模型。第一种模型是Black和Scholes(1973)建立的。在市场无摩擦、存在可连续交易的假设下,由持有股票的多头头寸,和持有以此股票为标的物的欧式看涨期权的空头头寸,形成一个无风险的套期保值证券组合。这种思路是解决期权定价问题的关键。第二种模型是从Harrison和Kreps(1979)开始的。在市场无摩擦和完备的假设下,市场无套利等价于存在唯一的等价鞅测度,市场上的任何证券的折现价格在这个测度之下为一个鞅。第三种是比较直观的模型。这种模型采用二项分布,是由Cox,Ross和Rubinstern(1979),Rendleman和Bartter(1979)独立得到的。前两种模型需要随机微分方程和鞅等复杂的数学工具。除了容易理解外,第三种模型——二项树定价模型。不仅为欧式看涨期权提供闭形式的解,而且在用数字计算方法解决更复杂的美式期权定价问题时,这种方法也能提供解。所以,我们先在这一章里介绍第三种模型——二项树定价模型。该模型由Sharpe(1978)提出, Cox, Ross and Rubinstein(1979)对它进行了拓展。尽管最初提出二项树定价模型的目的是为了避开随机分析来解释Black-Scholes-Merton模型,但现在该模型已成为对复杂衍生证券进行定价的标准数值计算程序。关于后两种模型,我们在以后的章节中讨论。
在应用二项树定价模型时,最重要的是合成构造(synthetic construction)或者套期保值(hedging) 的概念。为了给看涨期权定价,利用股票和债券去复制期权的值。这个证券组合称为合成看涨期权。由无套利原理,这个证券组合的成本等于期权的价格。合成构造的程序不仅给出了期权的定价方式,也给出了套期保值的方法。套期保值最形象、最简单的例子是有关保险中的定价问题。
假设一种人身保险,对象为60岁健康的老人:如果从投保之日起,在一年之内被投保人去世,保险公司支付投保人100000元,否则,保险公司不支付任何款项。这种险种的价格为2300元。现在,某公司60岁的总裁向你贷款,条件是,如果一年后他还健在,他支付给你100000元,否则,你回收不了任何贷款。问题是,你到底应该贷多少给这位总裁。
代表这位总裁答应支付给你100000元的这份协议,其实是你购买的一份证券,从这个角度来看,问题变成,这份证券的价格为多少?由无套利原理,这个价格显然依赖于市场上已有的证券:保险公司的保险和无风险利率。作为投资者,你将利用套期保值来对冲投资的风险。假设无风险利率为=8%。你贷款给公司总裁(即,你以价格买了一份证券),再花2300元给这位总裁买一份保险。一年后,如果这位总裁去世,你不能追回任何贷款,但你得到保险公司的赔偿100000元。如果这位总裁健在,保险公司不会支付任何赔偿,但你按照协议从这位总裁处得到100000元。所以,无论哪种情况发生,你都会得到100000元。这正是套期保值的实质所在:利用证券彼此在不同状态下的风险来对冲彼此的风险,以达到整个证券组合无风险的目的。下表列出了本例中套期保值的过程。
证券
不确定事件
总裁去世
总裁健在
成本
贷款
0
100000元
保险
100000元
0
2300元
总和
100000元
100000元

由无风险利率,。由此,你现在贷款为=。
我们也可以把上面例子中的套期保值过程视为由贷款和保险构造出了无风险证券。实际上,由于未来不确定状态只有两个,市场中只需要存在两种不完全相关的证券就使得市场是完备的,而我们有三种证券(贷款、保险、无风险证券),市场是完备的,所以我们可以用三种证券中的任何两种来构造第三种。这是所有完备市场定价方法的本质所在。
在这一章中,我们利用股票和期权来合成构造无风险证券。同样,我们也可以由股票和无风险证券来合成构造期权,这时,我们不仅仅给出了期权的价格,也给出了构造期权的策略。
期权定价的二项树定价模型给出了别的衍生证券定价和构造的重要思路。事实上,如果理解了这种方法的基本逻辑,我们也理解了现代使用的大多数衍生证券模型的基本逻辑。在这一章中,我们也用二项树定价模型来刻画以股票为标的物的期货合约的期货价格。
在这一章中,我们假设标的股票不支付任何红利,且市场满足我们在第二章给出的假设:
假设1:市场无摩擦(无交易成本,无买卖差价bid-ask spread,无抵押,无卖空限制,无税收)
假设2:无违约风险
假设3:市场是完全竞争的
假