数学分析数列极限分析解析.doc

数学分析数列极限分析解析第二章数列极限§1数列极限概念教学目的与要求:使同学们理解数列极限存在的定义,数列发散的定义,某一实数不是数列极限的定义;掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。教学重点,难点:数列极限存在和数列发散定义的理解;切实掌握数列收敛发散的定义,利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。教学内容:一、课题引入1°预备知识:数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。2°实例:战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰,日取其半,万古不竭。”将其“数学化”即得,每天截后剩余部分长度为(单位尺),,,……,,……或简记作数列:分析:1°、随n增大而减小,且无限接近于常数0;数形结合方法2°数轴上描点,将其形象表示:χ10-1将其一般化,即引出“数列极限”概念an无限接近常数a当n无限增大时二、数列极限定义1°将上述实例一般化可得:对数列,若存在某常数a,当n无限增大时,an能无限接近常数a,则称该数为收敛数列,a为它的极限。例如:,a=0;为什么强调存在N,a=3;,a不存在,数列不收敛;,a不存在,数列不收敛;2°将“n无限增大时”,数学“符号化”为:“存在N,当n>N时”任给—:无限接近将“an无限接近a”,数学“符号化”为:任给ε>0<ε例如对以3为极限,对ε=,要使=只需取N=10,即可3°“抽象化”得“数列极限”的定义定义:设是一个数列,a是一个确定的常数,若对任给的正数ε,总存在某一自然数N,使得当n>N时,都有<ε则称数列收敛于a,a为它的极限。记作{(或an→a,(n→))说明(1)若数列没有极限,则称该数列为发散数列。(2)数列极限定义的“符号化”记法:这是用极限定义证明的具体方法(为什么?)思考>0,N,当n>N,有<ε(3)上述定义中ε的双重性:ε>0是任意的,但在求N时,又可视为是给定的,由“任意性”可知,不等式<ε,可用<2ε,<ε2……来代替“<”号也可用“≤”号来代替(为什么?)思考双重性(4)上述定义中N的双重性:N是仅依赖于ε的自然数,有时记作N=N(ε)(这并非说明N是ε的函数,(为什么?)思考是即:N是对应确定的!但N又不是唯一的,只要存在一个N,就会存在无穷多个N(为什么?)思考(5)如何用肯定的语气叙述:>0,N,n。尽管n。>N,但≥ε。这是用极限定义证明的具体方法(6)如何用肯定的语气叙述,数列发散: ,>0,N,no,尽管no>N,但≥εo。(7)的几何意义:χ或aN或ananaNaa+εa-ε即a的任给ε邻城,都存在一个足够大的确定的自然数N,使数列中,所有下标大于N的an,都落在a的ε邻城内。.三、(K为正实数)证:由于所以ε>0,取N=,当n>N时,便有注:或写作:ε>0,取N=,当n>N时,有,∴,要使(为简化,限定n只要n证.,当n,有由定义适当予先限定n>n。是允许的!但最后取N时要保证n>n。=0,这里<=0,结果显然成立若0<<1,令=>0)由于≤<所以,>0,取N=>N,有<注:1°特别地写当q=时,此即为上述实例中的2°贝努利不等式(1+h)n≥1+°由例2、例3看出,在由<ε中求N时,适当的“放大”不等式,可以简化运算。而“放大”的技巧应引起同学们注意体验、总结。如:用已知不等式,用限定“n>n。”等方法。,其中a>-1=,则>0由贝努利不等式=(1+)n≥1+n=1+n()或≤ >0,取N=,当n>N有<ε思考:这里取N=也可以,为什么?四、等价定义与无穷小数列定义任给>0,若在U(a;)之外数列中的项至多只有有限个,则称数列收敛于极限a。由定义可知,若存在某0>0,使得数列中有无穷多个项落在U(a;0)之外,则一定不以a为极限。例5证明和都是发散数列。分析利用定义证例6设,作数列﹛zn﹜如下:﹛zn﹜:x1,y1,x2,y2,…,xn,yn,…。证明。分析利用定义证例7设为给定的数列,为对增加、减少或改变有限项之后得到的数列。证明:数列与同时为收敛或发散,且在收敛时两者的极限相等。分析利用定义证设为收敛数列,且=a。按定义,……。现设发散,倘若收敛,则因可看成是对增加、减少或改变有限项之后得到的数列,故由刚才所证,收敛,矛盾。所以当发散时也发散。在所有收敛数列中,有一类重要的数列,称为无穷小数列,其定义如下:定义2若,则称为无穷小数列。前面例1、2、4中的数列都是无穷小数列。由无穷小数列的定义,读者不难证明如下命题::为无穷小数列。五、小结:(可以师生共同总结,或教师引导学生小结,然后教师再条理一下)本节课重点在于“数列极限的概念”,而“用极限定义证明极限”的例题学****也是为了巩固极限概念。为此,同学们要