平面几何中的辅助线——演示文稿.ppt

浅谈平面几何解题中作辅助线的方法
平面几何中解题时,一般需要完善图形和运动图形。因此在解答几何****题时,由于条件不充分,常常求助与辅助线,也就是完善图形和运动图形。而作辅助线的目的是什么?常用的作辅助线的方法又有哪几种呢?我们知道添加辅助线的目的是分散的元素集中,是使隐蔽的条件显现,把复杂的问题化简。对常用的作辅助线的方法,曾有书把它总结为:两点连线法,线段延长法,添加平行线法,添加垂线法,分点相连法,添角平分线法,及添辅助圆法等数种,这些方法只不过是从题表而言,并未涉及到内涵,其实作辅助线的方法从几何变换的角度来说,不过是由反射、平移、旋转以及位似四种变换引出的辅助线的作法。为了叙述方便,我们将作辅助线的方法分为四类,不妨称之为反射法、平移法、旋转法、位似法。下面就按此顺序对这四种方法作一一解析。
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反射
反射对称,就是轴对称,它的性质也是轴对称的性质,这里就不一一叙述了。反射对称变换的两个要素是:对称轴和图形中点与对称轴的距离。因此在解证几何问题时,图形若是轴对2称的常作的辅助线就是作出其对称轴以充分利用其对称的性质;若不是轴对称的,则常选某直线为反射轴,添补为轴对称的,或者将一侧的图形通过反射到另一侧以实现条件的相对集中。比如的这几个例题就是如此。
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平移
例1:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D是AC的中点,AE⊥BD,AE的延长线交BC与F,求证:∠ADB=∠FDC证明:等腰直角三角形是正方形的一半,则将△ABC以斜边BC为轴翻折(即反射),从而得到正方形ABA。C(见下图)。延长AF交A,C于D,,由AE⊥BD,及ABA。C是正方形,易证△ABD≌△CA,D。因而CD,=AD,即D,是A,C的中点,所以D,与D是关于BC对称的对称点。连接A,D,则A,D与AD,关于BC对称。因此,A,D与BC的交点是AD,与BC的交点F(即A,、F、D三点共线)。在正方形ABA。C中,D是AC的中点,故∠ADB=∠CDA,,即∠ADB=∠CDF。从而命题获证。
平移是我们比较熟悉的变换,当题设中有彼此培平行的线段,或者其它因素,而又需要将这些条件集中,就可以提通过平移,迁线迁角,把图形中的元素集中起来,形成新的联系,这对证明线段相等、平行及两角相等有一定的的作用。在解答几何问题时,常见的图形有以下两种:(1)作一边的平行线,平移线段;(2)作一边的平行线,平移角。
例2:六边形ABCDEF中,AB∥DE,BC∥EF,CD∥AF,对边之差BC-EF=DE-AB=AF-CD>0。求证:六边形各角相等。简证:作AQ∥BC,CR∥DE,EP∥AF交成下图中的△PQR,PQ=BC-EF,QR=DE-AB,PR=AF-CD,故PQ=QR=RP,所以△PQR为正三角形,由平行线性质易推得六边形各角均为120°,即六角相等。
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旋转
例3:四边形A