习题反常积分的收敛判别法.doc

⒈⑴证明比较判别法();⑵举例说明,当比较判别法的极限形式中或时,(1)(比较判别法)设在上恒有,;,应用反常积分的Cauchy收敛原理, ,,:.于是,所以也收敛;当发散时,应用反常积分的Cauchy收敛原理,,,:.于是,所以也发散.(2)设在上有,,也发散;但当收敛时,可能收敛,,,,而对于,则当时收敛,,,也收敛;但当发散时,可能发散,,,,而对于,则当时发散,当时收敛.⒉证明Cauchy判别法及其极限形式().(Cauchy判别法)设在上恒有,是正常数.⑴若,且,则收敛;⑵若,且,(Cauchy判别法的极限形式)设在上恒有,且,则⑴若,且,则收敛;⑵若,且,(比较判别法)及其推论(比较判别法的极限形式),将函数取为.⒊讨论下列非负函数反常积分的敛散性:⑴;⑵;⑶;⑷().解(1)当时,~,所以积分收敛.(2)当时,~,所以积分收敛.(3)因为当时有,而积分发散,所以积分发散.(4)当时,~,所以在时,积分收敛,在其余情况下积分发散.⒋证明:对非负函数,,由收敛可推出收敛,,可知极限存在而且有限,由Cauchy收敛原理,,,:,于是与,成立与,这说明积分与都收敛,所以积分收敛.⒌讨论下列反常积分的敛散性(包括绝对收敛、条件收敛和发散,下同):⑴;⑵();⑶();⑷;⑸(和分别是和次多项式,在范围无零点.)解(1)因为有界,在单调,且,由Dirichlet判别法,积分收敛;由于,而积分发散,收敛,所以积分发散,即积分条件收敛.(2)当时,,而收敛,所以当时积分绝对收敛;当时,因为有界,在单调,且,由Dirichlet判别法,积分收敛;但因为当时积分发散,所以当时积分条件收敛.(3)当时,,而收敛,所以当时积分绝对收敛;当时,因为有界,在单调,且,由Dirichlet判别法,积分收敛;但因为当时积分发散,所以当时积分条件收敛.(4)令,,由于条件收敛,可知积分条件收敛.(5)当且充分大时,有,,因为有界,且当充分大时,单调且,由Dirichlet判别法可知收敛;但由于当时,~,易知发散,所以当时,,由,为非零常数、或,易知积分发散.⒍设在只有一个奇点,...(Cauchy判别法)设在上恒有,若当属于的某个左邻域时,存在正常数,使得⑴,且,则收敛;⑵,且,(1)当时,积分收敛,由反常积分的Cauchy收敛原理,,,:.由于,所以收敛.(2)当时,积分发散,由反常积分的Cauchy收敛原理,,,:.由于,(Cauchy判别法的极限形式)设在上恒有,且,则⑴若,且,则收敛;⑵若,且,(1)由(),可知,:,(1).(2)由(),可知,:,(2).,则收敛:⑴(Abel判别法)收敛,在上单调有界;⑵(Dirichlet判别法)在上有界,(1)设,因为收敛,由Cauchy收敛原理,,,:.由积分第二中值定理,.(2)设,于是,,,,,,.所以无论哪个判别法条件满足,由Cauchy收敛原理,都有收敛的结论.⒎讨论下列非负函数反常积分的敛散性:⑴;⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;⑺.解(1)因为~,~,所以积分收敛.(2)因为,且对任意,,即当充分小时,有,所以积分收敛.(3)因为~,~,所以积分发散.(4)因为~,所以当时积分收敛,当时积分发散.(5)首先对任意的与任意的,有,即当充分小时,有;且~.所以当时,积分收敛,当时,积分发散.(6)~,~,所以在时积分收敛,在其余情况下积分发散.(7)~,且,即当充分小时,有,所以当时积分收敛,在其余情况下积分发散.⒏讨论下列反常积分的敛散性:⑴();⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;⑺;⑻.解(1).当,时积分与积分显然收敛,且当时,~,即不是反常积分,所以积分收敛.(2).因为~,~,