第1讲 线性空间.doc

矩阵论1、意义随着科学技术的发展,古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要,:“科学计算实质就是矩阵的计算”.,学****和掌握矩阵的基本理论和方法,对于理、、内容《矩阵论》与工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异:线性代数:研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆)以及第一类初等变换(非正交的)、对角标准形(含二次型):研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二与第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数与条件数、广义逆与分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵与特殊运算等,、方法在研究的方法上,矩阵论与线性代数也有很大的不同:线性代数:引入概念直观,:着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算,:,也是通常几何空间概念的推广和抽象,线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象.§1线性空间1群,环,域代数学是用符号代替数(或其它)来研究数(或其它)的运算性质和规律的学科,:假定对于集A中的任意元素a与集B中的任意元素b,按某一法则与集C中唯一确定的元素c对应,则称这个对应为A、B的一个(二元):,在集合的元素之间定义了一种代数运算,叫做加法,记为“+”.即,对中给定的一个法则,对于中任意元素,在中都有惟一的一个元与他们对应,称为的和,“+”下,满足下列四个条件,)在“+”,若有;2)在“+”,,;3)在中有一个元,若有;e称为单位元;4):对任意元素,都有, 设是一个非空集合,在集合的元素之间定义了两种代数运算,分别叫做加法、乘法,记为“+”与“”.即,对中给定的一个法则,对于中任意元素,,在中都有惟一的一个元与他们对应,称为,的和与积,记为().满足下列三个条件,)在“+”下是阿贝尔群;2)在“”,;3)乘法对加法满足左、右分配律,即对于中任意元素,,,有,.注:对任意元素,都有,,且在对“加法”群中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件,:有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域,、实数域、,,不难验证,对实数四则运算封闭的,,,,,叫做加法,记为“+”:即,给出了一个法则对于中任意元素,在中都有惟一的一个元与他们对应,称为的和,,称为数量乘法(数乘),记为“”:即,对于数域中任一数和中任一元,在中都有惟一的一个元与它们对应,称为与的数乘,,且满足如下八条规则:⑴交换律;⑵结合律,;⑶,有,(0称为零元素);⑷,有,(称为的负元素,记为);⑸,有;⑹,;⑺;⑻,,就称为实线性空间;为复数域,,由全体实维向量组成的集合,在实数域上构成一个实线性空间,记为;由全体复维向量组成的集合,在复数域上构成—个复线性空间,,由数域上的元素构成的全体矩阵所成的集合,在数域上构成一个线性空间,,为什么?(事实上,零矩阵).例3按通常意义的函数加法和数乘函数,闭区间上的连续函数的全体所成的集合,={全体正实数},其“加法”及“数乘”运算定义为,.证明::,则有:,,.(1)(2)(3)1是零元素.(4)是的负元素(5