高等代数论文.doc

莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目:小论矩阵的对角化姓名:刘文娟学号:莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业2004级2007年6月22日小论矩阵的对角化刘文娟042数本摘要:对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种,这里讨论阶矩阵对角化的一些判定条件(充要条件)及几种常用矩阵的对角化问题。关键词:可对角化特征值特征向量不变因子初等因子最小多项式矩阵的秩特征多项式循环矩阵定义:数域上方阵,如果能与一个上的对角方阵相似,则在可对角化。判定1:可对角化的充要条件是:有个线性无关的特征向量。判定2:设方阵的全部不同的特征根为而为的一个基础解系(从而是属于的一极大无关特征向量组),可对角化的充要条件是:判定3:设为方阵的全部不同的特征根,且分别为重根,可对角化的充要条件是:对每个都有:证明:充分性设,则齐次线性方程组的基础解系含个向量,但由于分别为重根,从而故可对角化。必要性设必有个线性无关的特征向量,但由于,故每个次线性方程组的基础解系必含个向量,从而,判定4:数域上方阵与对角矩阵相似的充要条件是:的最小多项式是上互素的一次因式的乘积。判定5:复数域上矩阵与对角矩阵相似的充要条件是:的最小多项式没有重根。即的最后一个不变因子无重根。证明:假设相似与对角矩阵,因为相似矩阵具有相同的最小多项式,我们只要证明对角矩阵的最小多项式无重根即可。由于分块对角矩阵的最小多项式等于各块最小多项式的公倍式,对于对角矩阵而言,等于主对角线上一次式的最小公倍式,显然,这个多项式无重根子。反之,设的最小多项式无重根,因为最小多项式是矩阵的最后一个不变因子,故前面的不变因子无重根(它们都是最后一个不变因子的因子),于是的初等因子全是一次式,即的若当块都是一阶的。这就证明了相似与对角矩阵。判定6:复数域上矩阵与对角矩阵相似的充要条件是:的初等因子是一次的。即的每一个若当尔块皆是一级的。判定7:为复数域,,与对角矩阵相似的充要条件是:对于任意的,与有相同的秩。证明:设与对角矩阵相似,则存在可逆矩阵,使所以任意,有因此与等秩,由可逆知:与有相同的秩。反之,设对每个,与有相同的秩,由于,故可与若当形矩阵相似,即存在可逆矩阵,使其中为若当块,,若某个不是对角形(即不是一级的),不妨设为,即故由此可知的秩小于的秩,因而的秩小于的秩,进而的秩小于的秩,与已知矛盾。故每个是对角形,从而为对角形判定8:矩阵=(杨:数量矩阵吗)的充要条件是的不变因子组(杨:这种称呼的来源?)中无常数。证明:必要性显然下证充分性若的不变因子无常数,则只能为,,因此相似于对角矩阵,且主对角线上的元素全是,即存在可逆矩阵,判定9:设为方阵,是的特征多项式,并令则与一对角矩阵相似的充要条件是:证明:必要性由与对角矩阵相似,其最小多项式无重根,且取的所有根,又无重根且与的根相同,故因而充分性由知从而无重根,与对角矩阵相似。性质1:一个矩阵是否可对角化(即与一个对角矩阵相似)同数域的大小有关。例如:二阶方阵在实数域不可对角化,但在复数域上却可以对角化,因此此时它与对角矩阵相似事实上,取即有判定10:设为一个复矩阵,是的特征多项式,可对角化的充要条件是:若是的重根,则秩证明:必要性由条件可知,存在可逆矩阵,使而是的重根,因而在中有个,故矩阵的主对角线上有个零,从而秩充分性由是的根,即是的特征值,由条件知,存在可逆矩阵,使,设的对角线元素为,而不以为特征值,则故秩从而由于是任意的,故为对角矩阵。性质2:设是数域上的阶可逆矩阵,则以下条件等价:与对角矩阵相似与对角矩阵相似与对角矩阵相似证明:设,且与相似,则存在可逆矩阵,使得,即也与对角矩阵相似。,设,且与相似,则存在可逆矩阵,使于是有:进而有:即也与对角矩阵相似。,设,且与相似,设可逆矩阵,使,可逆,而,,因此,即与对角矩阵相似。性质3:任何循环矩阵在复数域上都可对角化。证明:令,且,其中为全部的次方根。则由于可逆,从而可与对角矩阵相似,即可对角化。判定11:设为任意一阶方阵,在复数域上可与对角化的充要条件是:与某个循环矩阵相似。证明:充分性由性质3可知。下证必要性。设可对角化,则存在满秩矩阵,使现在令如上性质3中证明所设的,且令,则由于可逆,故线性方程组有唯一解,设为从而由此可得;其中再令,于是由上知,有从而,即与循环矩阵相似。几种常用矩阵的对角化问题。,若,则可对角化(杨:结论正确吗?)。证明:设相似于对角矩阵,即存在可逆矩阵,使,但由于,从而有于是,从而与矛盾。,则必可对角化。(杨:更一般:?)证明:的特征值,因此为1或-1,现在来证明有个线性无关的特征向量,已知,知,因此对特征值1,齐次线性方程组有个线性无关的解,而对特征值-1,同理有个线性无关的解,再由于属于不同特征值的特征向量线性无关。所以有个线性无