一类奇异半线性反应扩散方程初值问题解的存在性.pdf

第卷第期经济数学。
刃年月流戌以曲以刃
一类奇异半线性反应扩散方程
初值问题解的存在性
彭大衡苏醒
湖南大学数量经济研究所,长沙,
摘要本文获得了如下的奇异半线性反应扩散方程初值问题
孤氏一口乃“二“户十八二,,二任”
,, 任”
,十
广义解妇八在乙器汇,工“”〕中的存在性,其中。,,非负且二〔
伪”
关健词奇异丰线性反应扩散方程,初值问题,广义解,卿认条件
《主题分类
中图分类
引言及结论
本文讨论如下初值间题
己一乃。二矿, ,好”

。,, 任”
考阅于
其中,,非负且‘”
文〔〕最先讨论了如下问题
‘二,, 二


,心
其中。之,一是某连续半群的无穷小生成元,在斌, 满足全局条件等假
设之下获得了间题的整体解的存在性以后,文【一〕分别在。二,。且。共的
情形,当,。叮。而。满足局部条件例如。扩十,
时得到了问题的局部解的存在性,并讨论了解的爆破条件等我们注意到在现有的
文献中,讨论具有奇异系数的半线性发展方程的还只有〔一而〔一在获得解的存在性
时一个不可缺少的条件是,关于满足全局或局部的沙条件。当,的二
叮而恤,时,。在形如,。。的区间上,并不满
足义条件因此,对间题解的存在性仁一〕是不能回答的本文的目的就是要解
决问题的解的存在性另外,关于奇异线性抛物方程的讨论,可参考〕中提到的文献
收稿日期一一
经济数学第卷
当,问题相应的积分方程是
了内、
且
、
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书
乍
其中乒,二一二了击,形一左‘,,’‘,,表示卷积运算、
分
一,
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可,,一,‘一,“,,作同样理解
当且。笋,问题相应的积分方程是
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其中必,二丁。·,一“,,·‘,,“才,二一严
与通常一样,当。时,称满足方程的函数,是问题的广义解
,而当。且。铸时,称满足方程的函数,是问题的广义解参见
〕
本文得到的结论是
定理问题在蒸【,气”〕中至少存在一个非负的广义解
定理的证明
引理,若任,则
,,丁‘,·,一‘··一、,,一
,,丁。·卜。,·,压、。·
其中,· 。· ·
引理设是一个非降的函数,且满足,如同问题中所设
则对任给的常数‘之,间题
枷日忿一口△, , ,

砚,。, 任”

在器【,”〕中存在唯一的广义解
证只证。二时的情形,对。且护类似可证
问题相应的积分方程是
一‘,
。,二一。,,,丁
在“【,“,,中定义如下映射
, 十,,,二丁一‘,,,,月,
则将【,”〕映人其自身事实上,对任给的任【,气”」,
第期彭大衡等一类奇异半线性反应扩散方程初值问题解的存在性一一
由引理
,。,,二一、。丁二,一,〕一可一’二一”肠卜,一,,。秘
几〔‘“·,一‘一,“一可尹一’‘嘛一,·‘,,一、
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其中是的衅常数,由上式得
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因此, 几乎处处有定义且任叻【,气”〕
以下证明对充分小的,是压缩映射任取。,二