二次损失下带线性等式约束的线性模型中的线性预测的可容许性.pdf

第卷第期经济数学
年月
二次损失下带线性等式约束
的线性模型中的线性预测的可容许性’
王浩波‘喻胜华
湖南大学数学与计量经济学院,长沙,中南大学数学科学与计算技术学院,长沙,
滴要本文针对带线性等式约束的线性模型,在二次损失下研究了线性预测的可容许性,得到了条件线性
可预浏变责的线性预测场,场,是可容许线性预测的充要条件
关键词二次损失,线性等式约束,线性预测,条件线性可预测变量
引言和记号
设和都是实矩阵,‘表示的转置之。表示对称非负定正定,全
表示一之。一产表示由的列向量张成的线性空间表示的
一广义逆,一表示的减号广义逆,,‘一‘为的正交投影阵
表示的迹表示的秩
设,,⋯,表示容量为的有限总体,的个元对应十个量,八,,⋯,
,,这里除孟外均已知,记,,,⋯,。‘,一,,,⋯,,‘,其中及,,石,⋯,
户‘,片,,⋯,
考虑带齐次线性等式约束的线性模型
月, ,

这里。为维随机误差向量,是具有任意秩的设计阵,全。已知, 为又的已知常
数矩阵,召是维未知参数向量,夕任沪会召,月,· 和· 分别表示随机向量的
期望和方差
文〕研究了有限总体中的线性函数场的预测问题,在二次损失下得到了场的线性
预测是可容许预测的充要条件实际问题中,我们处理的模型往往是带约束条件的,因此,本文
研究带线性等式约束的线性模型的线性预测的可容许性问题,在二次损失下得到了一个线性
预测是可容许线性预测的充要条件
为了预测场,根据某个特定的抽样方案,从中抽取容量为的样本,,一,为
容量为的未被观察部分,其中一,取样后重新安排的元素,使得、、和。有一致
的分块,即
国家自然科学基金资助项目
收稿日期一一
第期王浩波喻胜华二次损失下带线性等式约束的线性模型中的线性预测的可容许性一一
认
召

一己
一一一一
亡
儿
把进行相应的分块,,,则场,十召,
设。勿,是的常数矩阵
丈勿,是的常数矩阵,任,取损失函数
一夕‘一夕
定义对于模型,若存在,的函数,使得,一场二对一切月任沪
成立,则称场为条件可预测变量
引理勿为条件线性可预测变量,当且仅当
川二仁爪义‘
定义称吻的预测,优于另一个预测,,如果
勿,一’勿,一一少一‘,少,一之。,对一切月任沪成立,且
存在月。任沪,使得上式不等号成立
预测。称为在勿的预测函数类口中是可容许的,如果。,任口,且在口中不存在
优于。,的预测,用记号。旦场们表示在损失函数下,。是场在口中的可
容许预测
齐次线性预测的可容许性
本节在模型下讨论场的线性预测在齐次线性预测函数类。中可容许的条件为
证明本节定理先给出几个引理
引理幻若为非对称方阵,则存在正交阵尸,使得尸
引理川在模型下,若勿妙场司,则对任意的常数矩阵,有勿,妙
场〔沪
引理对于模型,与,作为场的预测,有
勿一场‘切一卿全马,一场‘马一场,对一切月任沪成立,且等号成立的充要
条件是
、、,
这里戈戈才十戈、一戈了十,。了一戈戈了戈,一戈全〕,
了戈,戈一、, 戈、一,,,
戈一尸,,,戈,戈二戈,下同
证切,一场‘勿一场
称一