分数布朗运动环境中标的资产有红利支付的欧式期权定价.pdf

第卷第期经济数学
年月
分数布朗运动环境中标的资产
有红利支付的欧式期权定价
刘韶跃‘, 杨向群,
湖南师范大学数学系,湖南长沙,
湘潭大学数学系,湖南湘潭,
摘要本文在标的资产或基拙股票的价格服从几何分数布朗运动模型假设下,分别在无风险利率和股价
波动率。为常数和为时间的非随机函数的情况下,求出了有红利支付的欧式期权的定价公式
关健词分数布朗运动,期权定价,红利
预备知识
分数布朗运动
设。,参数为的分数布朗运动是一个连续过程,任,

。且。二,协方差为。, , 一一
即为标准布朗运动
分数布朗运动有如下两个重要的性质
性质分数布朗运动为自相似过程,即对任意,过程斌与过程砂爪有相同
的有限维分布
性质对音,有长期依赖性,即若令, 一
。,则有万一

,、‘、‘。、上。、,,,‘一,。二二、,。一二、,。。,, 。,, , ,、一
分数布朗运动的这些性质使得它成为数理金融的一合适的工具但是对井青,分数布
‘“刁一一一’一卜件’, 行升’一曰一、‘一’礴一‘’扮’
朗运动既不是过程,又不是半鞍,所以不能用通常的随机积分来分析文〕和「〕定
义了一种关于分数布朗运动的随机积分一分数型积分,本文采用此种随机微积分的定义和
性质,由于篇幅关系,这里不再叙述本文中恒假设粤
乙
几何分数布朗运动
如果标的资产,例如基础股票,其价格满足下式
泌站。,
国家自然科学基金和湖南省自然科学基金资助项目
收稿日期一一
一一经挤数学第卷
称服从几何分数布朗运动
若。,。为常数,则有,一。。。。,。,一要。,,,
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称对应的市场满足通常的一模型的条件为型分数一市场
文〔幻还证明了此市场不存在套利且是完全市场
我们考虑一。型分数一市场,仅有两种证券一种无风险资产即债券与一种
股票设口,,,,尸是一个具有。流的概率空间,其中,是由分数布朗运动产生的自
然。一流其中债券价格满足方程
,
其中,为无风险利率股票价格满足方程
产,,
其中,爪为股票的瞬时期望收益率,武为股票的瞬时波动率
引理分数型一公式二,。为常数一个执行价格为,到
期时为的欧式买人期权在任,时的价格为
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其中一一一甲二二,
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七一下二十二一,一零二、一,
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了衬一
· 为标准正态分布的分布函数以下均同
引理, 分数型一方程,二。为常数,设在到期时有有
界盈利为的衍生证券在任〔,时的价格记为,,则,为以下
的解
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显然,在引理和引理中令一合,贝。此结论与经典一·对应的结论一致·
本文在此基础上,讨论了基础股票有红利支付的欧式期权,并分别在、为常数和为时间
的非随机函数的情况下求出了其定价公式,并且经典一的结论和引理的结论
均可作为这些公式特殊情况
有红利支付的欧式期权的定价
我们考虑标的资产,例如基础股票的价格服从几何分数布朗运动并有红利支付的欧式买
人期权执行价格为且到期时刻为,设红利率占为非随机函数任「