大学数学如何求极限.doc

高数求极限的方法⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1①:若极限和都存在,则函数,   当时也存在且  ①②又若,则在时也存在,且有利用极限的四则运算法则求极限,条件是每项或每个因子极限存在,一般所给的变量都不满足这个条件,如、等情况,都不能直接用四则运算法则,必须要对变量进行变形,设法消去分子、分母中的零因子,在变形时,要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。例1:求解:原式=⒉用两个重要的极限来求函数的极限①利用来求极限的扩展形为:令,当或时,则有或例2:解:令t=.则sinx=sin(t)=sint,且当时故例3:求解:原式=②,令所以例4:求的极限解:原式=利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。⒊利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即称与是时的等价无穷小量,记作定理2②:设函数在内有定义,且有1若则2若则证明:①②可类似证明,在此就不在详细证明了!由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限例5:求的极限解:由而;();()故有=注:由上例可以看出,欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量,如:由于,故有又由于故有arctanx,(x).另注:在利用等价无穷小代换求极限时,应该注意:只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换,而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中,若因有tanx,而推出     =则得到的结果是错误的。⒋利迫敛性来求极限定理3③:设f(x)=g(x)=A,且在某内有f(x)h(x)g(x),则h(x)=A例6:求x的极限解:1x<1- 由迫敛性知            x=1做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数,并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。⒌利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限包括:如函数在点连续,则及若且f(u)在点a连续,则例7:求的极限解:由于及函数在处连续,故==。⒍利用洛比达法则求函数的极限在前面的叙述中,我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限,在此笔者叙述一种牵涉到无穷小(大)量的比较的求极限的方法。我们把两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限,分别记作型或