第9章 内积空间.pps

第九章内积空间InnerProductSpace§、内积空间的概念熟练掌握欧氏空间的度量概念,如长度、距离、夹角、正交等熟练掌握Cauchy-Schwarz不等式、三角不等式的含义及应用厦门大学数学科学学院网址:::设V是R上线性空间,存在映射(,): ,使得对任意x,y,z∈V,c∈R,有 (1).(x,y)=(y,x) (2).(x+y,z)=(x,z)+(y,z) (3).(cx,y)=c(x,y) (4).(x,x)≥=0. 则称在V上定义内积(,).V称为内积空间. 有限维实内积空间称为Euclid空间(欧氏空间).对称线性非负(实)内积空间定义:设V是C上线性空间,存在映射(,):使得对任意x,y,z∈V,c∈C,有 (1). (2).(x+y,z)=(x,z)+(y,z) (3).(cx,y)=c(x,y) (4).(x,x)≥=0. 则称在V上定义内积(,).V称为复内积空间. :对任意实数a, ,所以复内积空间与实内积空间的定义是一致的,:在复内积空间中,(复)内积空间例1:Rn×1是n维欧氏空间,若,定义内积如下: 该内积称为Rn×1上的标准内积. Cn×1是n维酉空间,若,定义内积如下: ×:R2×1上对 1) 是内积 2) 非线性,非内积 3) 未必非负,非内积 例子例3:设,定义则c[a,b]:设G为n阶正定阵,对,定义 则Rn×=:Rn×n上定义(A,B)=tr(A’B),是欧氏空间么?若是,它是几维的?例子定义:设V实内积空间,设x,y∈V, 定义x的长度为: 定义x与y的距离为: 当V是实空间时,定义x,y的夹角θ的余弦为: 当V是复空间时,定义x,y的夹角θ的余弦为: 当(x,y)=0时,称x与y正交,记x⊥y.(实)内积空间_2定理:设V是实的或复的内积空间,设x,y∈V,c为常数(实数或复数),则 (1) (2)(Cauchy-Schwarz不等式) 当且仅当x,y线性相关时,等号成立. (3)(三角不等式)内积空间_3在Rn×1中注1:x=0时,对任意y,(x,y)=0;反之,若对任意y,都成立(x,y)=0,则x=;只有零向量的长度为0;注2:||x+y||=||x||+||y||x和y同向或有一为0;注3:(x,y)=||x||||y||cosθ,其中θ为x与y的夹角(内积几何意义);注4:x⊥y时,(x,y)=(y,x)=0,||x+y||2=||x||2+||y||2(勾股定理);内积空间_4