矩阵论(华中科技大学)课后习题问题详解(1).doc

(1),对矩阵加法和数乘运算;(2),对矩阵加法和数乘运算;(3);对中向量加法和如下定义的数乘向量:;(4),通常的函数加法与数乘运算。解:(1)、(2)为R上线性空间(3)不是,由线性空间定义,对有1=,而题(3)中(4)不是,若k<0,则,数乘不满足封闭性。。解:一组基dimW=n(n+1)/,若dimU1=dimU2,而且,证明:U1=U2。证明:因为dimU1=dimU2,故设为空间U1的一组基,为空间U2的一组基,有而,C为过渡矩阵,且可逆于是由此,得又由题设,证得U1=U2。,讨论向量是否在R(A)中。解:构造增广矩阵矩阵A与其增广矩阵秩相同,向量可由矩阵A的3个列向量线性表示,在列空间R(A)中。[x]中向量,,的线性相关性。解:而,该矩阵秩为2所以向量组P1,P2,P3线性相关。,证明dimR(A)+dimN(A)=n。证明:,假定dimR(A)=r,且设为R(A)的一组基则存在,其中不全为零使显然上述n-r个向量线性无关,而,s<r不为N(A)中的向量,否则与线性无关矛盾,故dimN(A)=n-r所以dimR(A)+dimN(A)=,求矩阵A的列空间R(A)和零空间N(A)。解:通过矩阵的行初等变换将矩阵A化为行阶梯形矩阵A的秩为2,从A中选取1、2列(线性无关)作为R(A)的基,于是由,,rank(A)=2,有分别取和,,已知两组基,,,,,,求基{Ei}到基{Gi}的过渡矩阵,并求矩阵在基{Gi}下的坐标X。解:由此,。(1);(2);(3)中,;(4)。解:(1)不是子空间,对加法及数乘运算不封闭。如取k=2,,,而,。(2)不是子空间,因为W2中没有零元。(3)、(4)为子空间。,,,,,,求和。解:设,则且于是,有即而取,得所以由于rank(A)=,子空间,,其中,,求(1)V1的基和维数;(2)和的维数。解:(1)中,令,可验证A1,A2,A3线性无关,它们构成空间V1的一组基,空间V1的维数dimV1=3。(2)中,B1与B2线性无关,它们是V2的一组基,故dimV2=2,而V1+V2=L{A1,A2,A3}+L{B1,B2}=L{A1,A2,A3,B1,B2}在的标准基E11,E12,E21,E22下,A1,A2,A3,B1,B2对应的坐标X1,X2,X3,X4,X5排成矩阵于是dim(V1+V2)=4,,,,证明。证明:对W1,由,解得显然W1的维数dimW1=n-1,而向量组为W1的一组基。对W2,由,解得W2的基为,dimW2=1于是这里所以为W1+W2的基,则dim(W1+W2)=n,由维数定理可知,,,,判别下面定义的实数是否为内积。(1);(2);(3),其中A为正定矩阵。解:(1)不是上的内积。设,于是内积的线性性不满足。(2)与(3)是上的内积。可验证对称性、线性性及正定性都满足。,又,,,求的标准正交基。解:,求子空间的正交补子空间W⊥。解:(1)R2中,;(2)R3中,;(3)中,A为给定n阶方阵,,;(4)中,,为A的伴随矩阵。