最大值与最小值问题.ppt

目录上页下页返回结束二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法第五节函数的极值与最大值最小值第三章目录上页下页返回结束定义:,),()(内有定义在设函数baxf,),(0bax?,的一个邻域若存在0x在其中当0xx?时,,)()(0xfxf?(1) 则称为的极大值点,0x)(xf称为函数的极大值;)(0xf,)()(0xfxf?(2) 则称为的极小值点,0x)(xf称为函数的极小值.)(、函数的极值及其求法目录上页下页返回结束注意:3x1x4x2x5xOxaby41,xx为极大值点52,xx为极小值点3x不是极值点2) 对常见函数, ) )(23????xxxxf例如,1?x为极大值点, 2)1(?f是极大值1)2(?f是极小值2?x为极小值点, 函数12xOy12目录上页下页返回结束定理 1(极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,,0时由小到大通过当xx(1) )(xf?“左正右负”,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf?“左负右正”,.)(0取极大值在则xxf(自证)点击图中任意处动画播放\暂停目录上页下页返回结束例1. 求函数32)1()(xxxf??:1) 求导数???32)(xxf3132)1(???xx35235xx???2) 求极值可疑点令,0)(??xf得;521?x令,)(???xf得02?x3) 列表判别x)(xf?)(xf?0520????)0,(??),0(52),(52??0??x是极大值点,其极大值为0)0(?f是极小值点,其极小值为52?)(52??f目录上页下页返回结束定理2 (极值第二判别法)二阶导数, 且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0??xf0)(0???xf,0)()1(0???xf若则在点取极大值;)(xf0x,0)()2(0???xf若则在点取极小值.)(xf0x??证: (1))(0xf??00)()(lim0xxxfxfxx??????0)(lim0xxxfxx????,0)(0知由???xf存在,0??,00时当????xx0)(0???xxxf时,故当00xxx????;0)(??xf时,当????00xxx,0)(??xf0x0x???0x???由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2) . 求函数1)1()(32???xxf的极值. 解:1) 求导数,)1(6)(22???xxxf)15)(1(6)(22?????xxxf2) 求驻点令,0)(??xf得驻点1,0,1321????xxx3) 判别因,06)0(????f故为极小值;0)0(?f又,0)1()1(???????ff故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于???)(没有极值在???xxf1xy1?O目录上页下页返回结束定理3(判别法的推广)阶导点有直到在若函数nxxf0)(,0)()()(0)1(00????????xfxfxfn?,0)(0)(?xfn则:数, 且1) 当为偶数时,n,0)(0)(时?xfn0x是极小点;,0)(0)(时?) 当为奇数时,n0x为极值点, 且0x不是极值点.???????))(()()(000xxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)(?))((0nxxo??????)()(0xfxf))((0nxxo??nnxxnxf)(!)(00)(?当充分接近时, 上式左端正负号由右端第一项确定,:利用在点的泰勒公式,)(xf0x可得目录上页下页返回结束例如,例2中1)1()(32???xxf,)35(24)(2?????xxxf0)1(?????f所以1??( 定理1 ~定理3 ) 都是充分的. 说明:当这些充分条件不满足时, :????)(xf,)sin2(212xx??,20?x0?x2)0(?f为极大值,但不满足定理1~ 定理3 ?O目录上页下页返回结束二、最大值与最小值问题,],[)(:(1) 求在内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,,,21?(2)最大值??max?M,)(1xf,)(2xf,)(,mxf?,)(af)(bf最小值??min?m,)(1xf,)(2xf,)(,mxf?,)(af)(bf