直线与椭圆的位置关系专题.doc

直线与椭圆的位置关系专题直线与椭圆的位置关系专题一、直线与椭圆相交的求值问题:,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)若直线与椭圆相交于,两点(不是左、右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,:(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为,由已知得:,,,,.椭圆的标准方程为.(Ⅱ)设,,联立得,又,因为以为直径的圆过椭圆的右焦点,,即,,,.解得:,,且均满足,当时,的方程为,直线过定点,与已知矛盾;当时,的方程为,,直线过定点,,A为椭圆上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、,恰好|AF1|:|AF2=3:1(I)求该椭圆的离心率;(II)设,,试判断l1+l2是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,:(I)当C垂直于x轴时,,由,得,在Rt△中,解得=.(II)由=,则,.焦点坐标为,则椭圆方程为,,,①若直线AC的斜率存在,:,∴所以,同理可得故l1+l2=.②若直线轴,,,∴l1+l2=:l1+.(2008,安徽卷,22)设椭圆过点,且着焦点为(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时,在线段上取点,满足,证明::(1)由题意:,解得,所求椭圆方程为(2)方法一设点Q、A、,记,则且又A,P,B,Q四点共线,从而于是,,从而,(1),(2)又点A、B在椭圆C上,即(1)+(2)×2并结合(3),(4)得即点总在定直线上方法二设点,由题设,,可设,于是(1)(2)由于在椭圆C上,将(1),(2)分别代入C的方程整理得(3)(4)(4)-(3) ,以椭圆的中心为圆心,.(1)证明:,并求直线与轴的交点的坐标;(2)设直线交椭圆于,两点,:(Ⅰ)由题设条件知,Rt△OFA∽Rt△OBF 故,即故,在Rt△,(Ⅱ)由(Ⅰ),得直线BF得方程为且设、,由得由得⑤注意到,:“圆上一点处的切线方程为”,类比也有结论:“椭圆处的切线方程为”,过椭圆C:的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线,切点为A、B.(1)求证:直线AB恒过一定点;(2)当点M在的纵坐标为1时,求△:(1)设M.∵点M在MA上∴①同理可得②由①②知AB的方程为易知右焦点F()满足③式,故AB恒过椭圆C的右焦点F()……8分(2)把AB的方程∴又M到AB的距离∴△(-1,0)、B(1,0)和动点M满足:,且,动点M的轨迹为曲线C,过点B的直线交C于P、Q两点.(1)求曲线C的方程;(2)求△.(1)解:设M(x,y),在△MAB中,|AB|=2,∴即因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,a=2,c=1∴曲线C的方程为.(2)解法一:设直线PQ方程为(∈R)由得:.显然,方程①的,设P(x1,y1),Q(x2,y2),,则t≥3,.由于函数在[3,+∞)上是增函数,∴故,即S≤3∴△:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则当直线PQ的斜率不存在时,易知S=3设直线PQ方程为由得:①显然,方程①的△>0,则∴令,则,即S<3∴△APQ的最大值为3 .,上顶点为A,过点A且与AF垂直的光线经椭圆的右准线反射,反射光线与直线AF平行.(1)求椭圆的离心率;(2)设入射光线与右准线的交点为B,过A,B,F三点的圆恰好与直线3x一y+3=0相切,:⑴因为入射光线与反射光线垂直,所以入射光线与准线所成的角为,即,所以,所以椭圆的离心率为.⑵由⑴知,可得,又,所以过三点的圆的圆心坐标为,半径,因为过三点的圆恰好与直线相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即,得,…………14分