充分统计量 完备统计量 指数分布族.pdf

03充分统计量与完备性(补充)-教学辅导一、【内容提要】(sufficientstatistic)1):设XX12,,,Xn是来自某个总体的样本,总体分布函数为Fx(;),统计量TTXX(,12,,Xn)称为的充分统计量,如果在给定T的取值后,即不包含关于参数的信息XX12,,,Xn的条件与)(因子分解定理FactorizationTheorem):设总体概率函数为f(;x),XX12,,,Xn为样本,则TTXX(,12,,Xn)为充分统计量得充分必要条件是:存在两个函数gt(,)和hX(,12X,,Xn)使得对任意的和任意组观测值XX12,,,Xn,有fX(,12X,,Xn;)g((TXXXhXXX12,,,nn),)(12,,,),:一般性结果的证明超出本课程范围,此处我们将给出离散型随机变量下的证明,此时,fx111,,;xnnnPXx,Xx;.,则在Tt下,PX11x,,XnnxTt与无关,记为hx1,xn或hX,令AtXTXt:,当xAt时有TtX11x,,Xnnx,故PX11x,,Xnnx;PX11x,,XnnxT,t;PX11x,,XnnxTtPTt;hx1,,xngt,,其中gt,;,PTt而hXPX11x,,XnnxTt与无关,,由于PTt;,;PX11xXnnxxxTxxt11,:,nngt,,,hx1xnxxTxxt11,:,nn对任给Xxx1,n和t,满足XAt,有-1-PX11x,,XnnxTtPXx,,XxT,t;11nnPTt;PXx,,Xx;11nnPTt;gt,,,hxx1ngt,,hy1ynyyTyyt11,:,nnhx,,x1n,hy1,ynyyTyyt11,:,nn该分布与无关,)(连续或离散)为Ffx,:,TTX:T为充分统计量的充分必要条件为:存在关于t的可测函数gt与关于x的非负可测函数hx,使得fxgTxhx,()对每一与成立xX.注:hx不依赖于.证:,fxPXx,对于TX的值域中任意固定的t,定义集合AtxTxt:.充分性设fx,使因子分解式()At,Txt成立,条件概率-2-PXxTX,tPXxTXtPTXtPXxfx,gTxhxPTtfu,gTuhuuAtuAtgthxhx,gthuhuuAtuAt它与参数At,,则TxtPXxTX,tPXxTXtPTXtPt也与,条件分布fxtfxt与无关,即TX,,PXxTXt参数无关,它是x的函数,记为hx.于是,对任意固定的t,当xAt时,Txt成立;这时Tx,,PXxPXxTXtPTXtPXxTXtPTXthxgthxgTxhx,式中因而()成立gtPTX,若样本的密度函数fx,能分解成两个因子的乘积,其中一个为TX的函数,而另一个仅为x的函数,与参数无关,则TX是)定义:Fpx{(;),},设gx()是定义在样本空间上的一个实函数,一般来说,积分(如果存在)E[()]gxgxpx()(;)dx(),因此上述积分(数学期望)可以看作一个变