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数学之旅小论文————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 数学之旅结课论文题目:从希尔伯特旅馆问题到集合论课程:《数学之旅》姓名:车颖斌学号:S**********教师:王维克 从希尔伯特旅馆开始体会到无穷这个新世界,住满旅客的旅馆是否还能容纳新的客人,部分是否能等同于总体;从自然数和偶数两个数集的比较到直线上的点和平面上的对应,体会到人的感知和严谨逻辑的高低之分,而无穷集合之间是否能比较大小,如果能比较,又该怎么比较;从康托尔悖论到罗素悖论,体会到完备的规则和约束才不会有白马非马的矛盾出现。关键字:希尔伯特旅馆:无穷集合:阿列夫数:连续统假设:康托尔悖论:罗素悖论注: 希尔伯特旅馆[1]说的是在可列房间号的旅馆中注满了客人,房间号可以和自然数一一对应(1,2,3…),在这个注满客人的旅馆里面竟然还可以安排客人居住。有穷个客人需要在这个注满人的旅馆中再安排进有穷个客人,只需要空出前有穷个房间,比如需要安排n个客人,只需要将i号房间的客人安排到i+n号房间即可,这样前面n个房间就空了出来。可数个客人只要进来的客人是可数的,那么就能用自然数列出(1,2,3…),那么需要将这样可列无穷的客人安排进这个已经住满客人的旅馆,可以按照以下策略。原来的客人假设住在了i号房间,则让其住进2i房间,则空出了(2i-1)号房间,这样可以将新来的旅客安排住处。 从希尔伯特旅馆问题看,这好像是一个悖论,因为既然原来的旅馆已经注满了客人,为什么还能够安排其他新来的客人呢?那么按照上面两种安排策略空出来的客人到底住在哪里呢?这不免令人思考起来,难道原来的认知出什么问题了吗? 这是由于希尔伯特旅馆涉及到了无穷这个概念,而且从上面希尔伯特说明的旅馆问题可以说明可数个无穷集合仍然是可数的。? 从上可以看出无穷是一个新的世界。那么,无穷之间是否能够比较呢?按照上面希尔伯特旅馆的穿插安排,似乎多个无穷的并还是无穷,难道无穷之间都是能相互对应的吗?非零正偶数(2,4,6…)和自然数(1,2,3…): 直观上感觉非零正偶数属于自然数的一部分,如果考量集合的大小用基数的 概念表示, 那么直观上显然非零正偶数的基数小于自然数的基数。但是,如 果按照下列对应方式, 非零正偶数和自然数可以使用k=2i(i=1,2,3…)一一对 应,1对应2,2对应4,3对应6,这样 两个无穷集合能够相互对应。这样 是不是说明两个无穷集合的基数相同呢?直线上的点集合和平面上点的集合[2]直观上直线上的点个数比平面上的点少,而且似乎少不少。但是通过一系列的等价性证明,就能说明直线上的点比平面上的点多。函数fx=tan(x-12*π),能够将(0,1)区间的点和实数一一对应起来,所以只需要说明(0,1)区间中的点和长宽皆为1的正方形中的点一样多即可。可知正方形中的点能够用(x,y)的形式表示:x=…an…y=…bn…将这样的(x,y)映射到(0,1)区间中的z=…anbn…,这样就能说明任意正方形中的一点都能在(0,1)区间中对应一点,而且互不相同。