三角函数·函数的周期性.doc

三角函数·函数的周期性 ,并运用它来判断一些简单、,:,=sinx,x∈R的图象:(老师把图画在黑板左上方.)师:通过观察,同学们有什么发现?生:正弦函数的定义域是全体实数,值域是[-1,1].:规律是什么?生:当自变量每隔2π时,:,不但正弦函数具有这种性质,其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质,因此我们就把它作为今天研究的课题:函数的周期性.(老师在黑板左上方写出课题)师:我们先看函数周期性的定义.(老师板书)定义 对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,:请同学们逐字逐句的阅读定义,:首先T是非零常数,第二是自变量x取定义域内的每一个值时都有f(x+T)=f(x).师:找得准!那么为什么要这样规定呢?师:如果T=0,那么f(x+T)=f(x)恒成立,函数值当然不变,没有研究价值;如果T为变数,就失去了“周期”的意义了.“每一个值”:除这两条外,定义中还有一个隐含的条件是什么?生:如果x属于y=f(x)的定义域,则T+:(x+T):函数周期性的定义有什么用途?生::下面我们看例题.(老师板书)例1 证明y=:因为由诱导公式有sin(x+2π)==:要想判断T是不是函数y=f(x)的周期有什么方法?我们现有的理论依据只有定义,如何使用定义?对于定义域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x),而不是有(存在着)某一个x,使f(x+T)=f(x),只要找到一个x0,使得f(x0+T)≠f(x0):分析得好!同学对概念的学****应该做到真正能弄清每句话的含义,, 已知f(x+T)=f(x)(T≠0),求证f(x+2T)=f(x).师:此题用文字如何叙述?谁能给予证明?生:若不等于零的常数T是f(x)的一个周期,证明2T仍是f(x)(x)的周期,所以f(x+T)=f(x),f[(x+T)+T]=f(x+T),即f(x+2T)=f(x).因此2T是f(x):这个命题推广可得到什么结论?生:如果T是f(x)的周期,那么2T,3T,…,nT(n∈Z)也都是f(x):这说明如果一个函数是周期函数,,?生甲:如果发现一个函数存在最小正周期,:,:,还进一步想到我们研究函数周期性的目的,那就是要研究一个周期函数在整个定义域上的性质,只要研究它在一个周期内的性质,,.(老师在函数的周期性定义下板书)如果在所有的周期中存在着一个最小正周期, 证明f(x)=sinx(x∈R):例1证明了y=sinx是周期函数,并且找到了一个周期T=,只要证明什么?生::如何证?能否逐一证明比2π小的正数都不行呢??生:∈(0,2π)使得y=sinx对于任意的x∈:你能具体的给予证明吗?生:假设T是y=sinx,x∈R的最小正周期,且0<T<2π,那么根据周期函数的定义,当x为任意值时都有sin(x+T)==∈(0,2π)时,cosT<