复变函数论复习提纲.doc

复变函数论一、复数与复变函数一、要求(一)明确复数、区域、复平面、扩充复平面,逐段光滑曲线等概念。(二)明确复变函数概念和几何意义,掌握一些简单函数的变换性质。(三)掌握复变函数的极限和连续性的概念和基本性质。(四)熟练掌握复数的有关计算,会作点集的图形。二、考试内容(一)复数概念、复数的表示法及其代数运算、复数的模与幅角、共轭复数及其简单运算。(二)平面点集基本概念,曲线(连续曲线、约当曲线、逐段光滑曲线)、区域(单连通区域、复连通区域)、复平面。(三)复变函数的概念及其几何意义,复变函数的极限与连续性。(四)无穷远点,扩充复平面。二、解析函数一、要求(一)掌握导数、解析函数的概念。(二)掌握C——R条件,并能熟练地判断复变函数的可导性和解析性。(三)掌握复基本初等函数的定义和基本性质。(四)掌握正整幂函数、根式函数、指数函数、对数函数的变换性质,了解根式函数单值解析分支的取法。二、考试内容(一)导数、解析函数、C——R条件。(二)初等函数:正整幂函数与根式函数,指数函数与对数函数,三解函数与反三角函数,双曲函数,一般幂函数和一般指数函数。三、复变函数的积分一、要求(一)明确复积分的概念及其基本性质。(二)会证柯西积分定理和柯西积分公式;理解解析函数的无限可微性和莫勒拉定理。(三)熟练地掌握复积分的计算方法。(四)理解刘维尔定理,会证代数基本定理。(五)掌握解析函数与调和函数的关系。二、考试内容(一)复积分的概念、基本性质及其计算方法。(二)柯西积分定理(在f'(z)连续的条件下,用格林公式证明)。不定积分,复连通区域上的柯西积分定理。(三)柯西积分公式,解析函数的无限可微性。(四)柯西不等式、刘维尔定理、代数基本定理。(五)莫勒拉定理。(六)解析函数与调和函数的关系。四、解析函数的幂级数表示法一、要求(一)明确收敛、绝对收敛、一致收敛、内闭一致收敛、幂级数、收敛半径、收敛圆、泰勒级数等概念。(二)了解一致收敛的函数项极数的分析性质。(三)掌握解析函数的零点孤立性定理和唯一性定理,了解最大模原理的含义。(四)会求幂级数的收敛半径,了解幂级数的和函数在收敛圆周上必有奇点。(五)会求简单初等函数的泰勒展开式。二、考试内容(一)复数项极数、收敛、绝对收敛。(二)复变函数项级数、收敛、一致收敛、内闭一致收敛、一致收敛的函数项级数的分析性质。(三)幂级数、阿贝尔定理、收敛半径、收敛圆、幂级数和函数的解析性。(四)泰勒定理。基本初等函数的泰勒展开式。(五)解析函数零点的孤立性、唯一性定理,最大模原理。五、罗朗级数、孤立奇点一、要求(一)明确罗朗级数、孤立奇点、可去奇点、极点、本性奇点等概念。(二)会求简单函数的罗朗展式。(三)会判别孤立奇点的类型。二、考试内容(一)解析函数的罗朗展式。(二)解析函数的孤立奇点的概念、分类以及函数在孤立奇点领域内的性质。(三)解析函数在无穷远点的性质。六、残数及其应用一、要求(一)掌握残数概念和残数的求法。(二)掌握残数定理的证法并会用残数定理计算曲线积分。(三)会用残数理论计算定积分和广义积分(三种类型);(四)了解幅角原理、儒歇定理,会用儒歇定理判断某些方程在指定区域内根的个数。二、考试内容(一)残数定义、残数求法、有限复平面上的残数定理。(二)解析函数在无穷远点上的残数、扩充复平面上的残数定理。(三)用残数计算曲线积分。(