大规模稀疏矩阵并行计算.pptx

主流求解方法直接法GAUSS消去法波前法多波前法迭代法经典迭代法Jacobi、SOR、SSOR投影方法CG、GMRES预处理技术不完全分解预处理条件代数多重网格技术11/26/2019大规模稀疏矩阵并行计算1矩阵性质对求解的影响性质影响11/26/2019大规模稀疏矩阵并行计算2非零元的分布带状分布按块分布……正定性对称性矩阵的存储方式求解方法的选择求解速度……直接法矩阵图重排:一般分为两大类,带宽缩减算法(也常称为外形缩减)和区域分解算法,应用较多的带宽缩减算法CM,RCM,GPS,Rosen算法。一般建议多重方法结合使用:全局方法的全局平衡性、局部方法的局部最优特性。符号分解:确定非零元结构以及相应的消元索引,以便在实际数值分解前确定所需存储资源大小,避免数值分解中动态分配存储空间和复杂的索引策略。构建消去树(eliminationtree):确定分解节点之间的分解依赖,即确定分解的顺序并构成并行分解的层次结构。11/26/2019大规模稀疏矩阵并行计算3直接法数值分解:利用符号分解得到的非零元结构和索引沿消去树路径进行分解。回代求解:包括前向(forward)和后向(backward)回代,可先构建消去依赖树或顶点着色技术实现并行回代求解。在有限元领域应用最广的直接求解方法常使用带宽缩减或多区域分解的多波前法(multifrontal)。11/26/2019大规模稀疏矩阵并行计算4对称正定矩阵的求解11/26/2019大规模稀疏矩阵并行计算5对称矩阵的不完全分解11/26/2019大规模稀疏矩阵并行计算6代数多重网格法V-CycleAMG(V循环多重网格法)W-CycleAMG(W循环多重网格法)FMG(完全多重网格法:嵌套网格与V循环或者W循环结合)11/26/2019大规模稀疏矩阵并行计算7代数多重网格法11/26/2019大规模稀疏矩阵并行计算8代数多重网格法在粗网格上对残差方程进行求解(可用迭代法或直接解法)。延拓或插值(interpolation):将细网格节点上的值通过分片插值延拓到细网格节点上。通过光滑的残差对解进行修正。后光滑(post-smooth),类似于前光滑。11/26/2019大规模稀疏矩阵并行计算9代数多重网格法方法选择对于非结构化网格形成的矩阵,SGS,SSOR方法不易并行,即使使用顶点着色技术,因其粗粒度的并行更适合于传统的多核处理器,并不非常适合GPU这样的细粒度并行的架构。Jacobi方法不具有低通滤波性,因此推荐使用damp-Jacobi和PCG方法作为迭代子,其中damp-Jacobi方法的权值一般取为2/3。在最粗网格上的计算推荐使用直接解法。通常对于二阶椭圆边值问题,几何多重网格法具有更好的计算效率以及收敛速度。11/26/2019大规模稀疏矩阵并行计算10