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第五章留数§1孤立奇点§2留数§3留数在定积分计算上的应用§:不解析的点例函数f(z)在z0不解析,但在z0的某个去心邻域内处处解析,则z0为f(z)的孤立奇点。例具有奇点z=0故z=(z)在它的孤立奇点z0的去心邻域内处处解析,因此可展成洛朗级数。下面根据展开式的不同情况对孤立奇点进行分类:此时,f(z)在z0的去心邻域内的洛朗级数为:如果在洛朗级数中不含奇点z0称为f(z)的可去奇点。的负幂项,(z),则F(z)在点z0解析,且假设幂级数此时,即若对f(z)补充定义:f(z0)=c0,则f(z)在点z0解析。故称z0为f(z)的可去奇点。存在且有界例函数在z=0的去心领域内的洛朗级数中不含负幂项。若约定在z=0的值为1(即c0),则它在z=0处就解析了。(z)的m级极点。如果在洛朗级数中只有有限多个其中关于,即的负幂项,的最高幂为orm阶极点8其中上式也可写成在内是解析的函数,且。反之,若函数f(z)能表示为()的形式,且g(z0)0,则z0是f(z)的m级极点。注如果z0为f(z)的极点,由()式,就有例——一级极点。z=1——。因而z=0为它的本性奇点。如果在洛朗级数中含有无穷多个则孤立奇点z0称为f(z)的本性奇点。的负幂项,例在点z=0可展成洛朗级数:
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