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通信原理辅导及****题解析(第六版)第3章随机过程本章知识结构及内容小结[本章知识结构]随机过程高斯随机过程性质一维高斯分布基本概念定义分布函数数字特征定义备态历经性自相关函数功率谱密度平稳随机过程平稳随机过程通过线性系统自相关函数功率谱密度均值窄带随机过程表达式统计特征正弦波加窄带高斯噪声表达式统计特征高斯白噪声和带限白噪声白噪声带限白噪声低通白噪声带通白噪声[知识要点与考点]随机过程的基本概念(1)随机过程的定义随机过程可从样本函数与随机变量两种角度定义。第一,随机过程是所有样本函数的集合;第二,随机过程可以看作实在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。(2)随机过程的分布函数n维分布函数n维概率密度函数维数n越大,对随机过程统计特征的描述就越充分。(3)随机过程的数字特征均值(数学期望)均值表示随机过程的样本函数曲线的摆动中心。方差方差表示随机过程在时刻t相对于均值的偏离程度。③自相关函数自相关函数目的是为了衡量在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。④协方差函数协方差函数对随机过程在任意两个时刻上的随机变量与各自均值的差值之间的相关联程度进行描述。⑤互相关函数互相关函数用来衡量两个随机过程之间的相关程度。平稳随机过程(1)定义①严平稳随机过程若一个随机过程的任意有限维分布函数与时间起点无关,则称为严平稳的,即:②宽平稳随机过程若一个随机过程的均值为常数,自相关函数仅于时间间隔有关,则称为宽平稳,即:(2)各态历经性若随机过程的任一实现,经历了随机过程的所有可能状态,则称其是各态历经的,即随机过程的数字特征,可以由其任一实现(样本函数)的数字特征来代表。遍历时间平均代替统计平均(3)平稳过程的自相关函数①偶函数:;②有界性:;周期性:若,则;平均功率:;(从时域角度给出平均功率求法)直流功率:;交流功率:。(4)平稳过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度与其自相关函数是一对傅里叶变换关系,即,根据功率谱密度,可以从频域角度给出平稳过程的平均功率为:。高斯随机过程(1)高斯过程的性质高斯过程的n维分布仅依赖于各随机变量的均值、方差和归一化协方差;广义平稳的高斯过程也是严平稳的;高斯过程中的随机变量之间若互不相关,则也是统计独立的;高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。(2)一维高斯分布一维高斯分布函数为:为方便求得分布函数,可以利用误差函数、互不误差函数与等几种特殊函数与分布函数之间的关系:(1)输出随机过程的均值(2)输出随机过程的自相关函数若线性系统的输入过程是平稳的,那么输出过程也是平稳的。(3)输出随机过程的功率谱密度输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。窄带随机过程两种表达式①=②,(2)和的统计特征一个均值为零的窄带平稳高斯过程,它的同相分量与正交分量同样是平稳高斯过程,而且均值为零,方差也相同。(3)和的统计特征包络服从瑞利分布,相位服从均匀分布。①=②,(2)包络统计特征包络服从广义瑞利分布(或莱斯分布)。(1)白噪声白噪声的功率谱密度在整个频域内均为一常数,是一种理想宽带过程。单边功率谱密度:,是正常数;自相关函数:白噪声仅在τ=0时才相关,而在任意两个时刻(τ≠0)的随机变量都是不相关的。带限白噪声低通白噪声带通白噪声Ⅰ功率谱密度:Ⅱ自相关函数:Ⅲ功率:Ⅳ概率密度函数:(均值为零的高斯分布)、难点与考点重点:随机过程的有关知识;难点:窄带随机过程、正弦波加窄带高斯噪声的包络与相位的统计特征;考点:平稳随机过程、维纳-辛钦公式、输出随机过程的功率谱密度。经典题型解析基本题型I:随机过程概念例1设余弦波,其中,a、ω为常数,随机变量θ在[0,2π]内服从均匀分布,判断是否为随机过程?如果是,试求任一相应的样本函数与随机变量。【问题分析】该类题目主要是从样本函数与随机变量两种角度考察随机过程的定义。【问题解答】为随机过程;若在[0,2π]内任选一个相位,则有,它是随机过程的一个样本函数;若固定时刻,则是一个随机变量。基本题型II:验证某一随机过程是否平稳。例2已知,其中为常数,上均匀分布的随机变量,验证是否平稳。【问题分析】熟练掌握平稳过程的定义,即其数学期望为一个常数,自相关函数仅于时间间隔有关。【问题解答】数学期望,自相关函数可见,该随机过程的数学期望为常数,自相关函数仅于时间间隔有关,所以该随机过程是平稳的。基本题型III:平稳过程功率谱密度的计算例3求例2中的功率谱密度。【问题分析】平稳随机过程的功率谱密度很难直接求得,可首先求出自相关函数,再利用维纳-辛钦公式获得功率谱密度。【问题解答】:功率谱密度基本题型IV:平均功率的计算例4计算例2与3中随机过程的平均功率。