重庆大学2012秋矩阵论考题及答案.doc

重庆大学研究生《矩阵论》课程试卷2012~2013学年第一学期(秋开课学院:数学与统计课程编号:考试日期:考试方式:考试时间:120分钟一、判断题。(每题3分,共30分(1位于第一象限,以原点为起点的向量构成的集合,按通常向量加法和数乘法,在实数域上构成线性空间。(×(2任意线性空间的元素都是无穷多个。(×(3若12xux⎛⎫=⎪⎝⎭,12yvy⎛⎫=⎪⎝⎭,则11122122(,3uvxyxyxyxy=--+是2R中的内积。(√(4上三角的正交阵必为对角阵。(√(5在线性空间V中定义1αα=+,则是线性变换。(×(6矩阵A的特征多项式必定是A的零化多项式。(√(7矩阵A谱半径12(max{,,,}nAρλλλ=,其中12,,,nλλλ为A的全体特征值。(×(8矩阵A谱半径(Aρ小于等于矩阵A的任意一种范数。(√(9对任意矩阵A都有((rArA-≥。(√(10任意的方阵都可以写成一个对称阵和一个反对称阵的和。(√二、(10分在22R⨯中,(1求基(I123421012113,,,01221212AAAA-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭到基(II123412111211,,,10111101BBBB----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵;(2求1234234ABBBB=+++在基(I下的坐标。解:不难看出,由简单基E11,E12,E21,E22到基(I和基(II的过渡矩阵分别为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=22211120311112021C,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=111001**********C(4分则有(B1,B2,B3,B4=(E11,E12,E21,E22C2=(A1,A2,A3,2(2分故由基(I到基(II的过渡矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==-.(2分1234**********(,,,(1,2,3,4(,,,(1,2,3,4TTABBBBBBBBAAAAC=+++==所求坐标为(3,1,4,2T-.(2分三、(10分写出,并用其证明:对任意的实数12,,,naaa有命题(组题人:审题人:命题时间:研究生院制学院专业(领域类别(学号姓名封线密1niia=≤∑解:柯西-斯瓦兹不等式:2(,(,(,αβααββ≤,当且仅当α与β线性相关时等式成立.(5分,不等式4分,等式成立条件1分取12(,,,Tnaaaα=,(1,1,,1Tβ=(3分又(22212(,(Tnaaaαβαβ==+++22212(,Tnaaaαααα==+++(,Tnββββ==故1niia=≤∑(2分四、(10分已知122212221A⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭,求11,,,,,(mFmAAAAAAρ∞∞。解:(11115,6,5,5mFmAAAAA∞∞=====;(8分,错一个扣2分又因为1,5,1(5(3212-===+-=-(==iiAλρ.(2分五、(10分已知1101B⎛⎫=⎪⎝⎭,在线性空间{}221122(0,ijijVAaaaaR⨯==+=∈中定义变换(TTABAAB=-,其中AV∈。(1证明变换是线性变换。(2求V的一组基,使线性变换在该基下的矩阵为对角阵。证明:(1对任意的,Vαβ∈及,klR∈,有(((TTklBklklBαβαβαβ+=+-+((TTTTkBBlBBααββ=-+-=k(α+l(β故是线性变换.(4分(2取V的简单基⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0100,0010,1001321AAA由于(101,10A-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦201(10A⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,301(10A-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,所以在基123,,AAA下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111111000R(2分R的特征值为1230,2λλλ===,对应的线性无关的特征向量为(1,1,0T,(0,1,1T,(0,1,-1T,令100111011C⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,002⎡⎤Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则有Λ=-RCC1.(2分由(B1,B2,B3=(A1,A2,A3C求得V的另一组基为1121101BAA⎡⎤=+=-⎢⎥⎣⎦,2230110BAA⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦,3230110BAA⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦,在该基下的矩阵为Λ.(2分六、(10分求微分方程组1**********(22((22dxtxxxdtdxtxxxdtdxtxxxdt⎧=+-⎪⎪⎪=--+⎨⎪⎪=--+⎪⎩,在(1013x⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦:3221110111(1111(1122122AEλλλλλλλλ---=---=----=--------.(3分A是特征值为1λ=(3重.(1分又因为(20,0AEAE-≠-=,所以A的最小多项式为2(1λ-.(1分设AteaE