数集确界原理.ppt

二二数集数集..确界原理确界原理abab一区间与邻域:, , .a b R a b? ?设 且{ } , ( , );x a x b a b? ?我们称数集为开区间记作{ } , [ , ];x a x b a b? ?数集 为闭区间记作ababao}{),[xaxa????无限区间{ } { } ,x a x b x a x b? ? ??数集 和为半开半闭区间[ , ) ( , ];a b a b分别记作和xaooxb( , ) { }a x a x??? ?}{),(bxxb????),(?????邻域?去心邻域0( ; ) { 0 }U a x x a? ?? ???, R x ax a? ??? ? ??设 满足绝对值不等式的全体实数的集合称为点的邻域,( ; ),( ),U aU a?记作 或简单记为( ; ) { } ( , ).U a x x a a a? ???? ?????即有此外,我们还常用到以下邻域( ; ) [ , ), ( );a U a a a U a? ??? ?? ?点的右邻域 简记为( ; ) ( , ], ( );a U a a a U a? ??? ?? ?点的左邻域 简记为0 0( ) ( ) , ,, ( ) ( )U a U a a aU a U a?? ?? ?与 去除点后分别为点的空心左右邻域简记为与( ) { }, ;U x x M M? ???邻域 其中为充分大的正数( ) { }, ;U x x M M?? ????邻域 其中为充分大的正数( ) { }, ;U x x M M?? ?????邻域 其中为充分大的正数二、有界集确界原理定义1 设S为R中的一个数集。若存在数M(L),使得对一切x∈S,都有x≤M(x≥L),则称S为有上界(下界)的数集,数M(L)称为S的一个上界(下界).若数集S既有上界又有下界,,则称S为无界集。????????1: { } .N n n??例证明数集为正整数有下界而无上界证, 1 .N?显然任何一个不大于的实数都是的下界, :N?为证无上界按照定义只须证明0 0, , .M n n M?对于无论多么大的正数总存在某个正整数使得, ( ),M事实上对任何正数无论多么大00 0[ ] 1, .n Mn N n M?? ?? ?取则 且N?,显然它有无穷多个上界,而其中最小的一个上界常常具有重要的作用,称它为数集S的上确界。同样,有下界数集的最大下界,称为该数集的下确界。MM2M1上确界上界 m2mm1下确界下界下面给出数集的上确界和下确界的定义。2定义S R?:( ) , , ;i x S x S? ?? ?对一切有即是的上界0 0( ) , , ,ii x S x? ? ?? ??对任何存在使得,S?即又是的最小上界,S?则称数为数集上确界的sup .S??记作说明:Sηx1x2x3x4x5xn?x0类似地,可得到下确界的概念3定义S R?:( ) , , ;i x S x S? ?? ?对一切有即是的下界0 0( ) , , ,ii