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《实分析与泛涵分析》的定理1.doc

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《实分析与泛涵分析》。(Cantor无最大基数定理) 对任何非空集A,|P(A)|>|A|(即A的幂集P(A)的基数大于A本身的基数)。证(1)作映射g:A→P(A),x|x|,令B=||x|:x∈A|P(A),,则g:A→B为一一映射,所以A~BP(A),从而|A|≤|P(A)|。(2)证|A|≠|P(A)|,即对任何映射f:A→P(A)都不可能是一一映射。用反证法,设存在一一映射f:A→P(A),x→f(x)=A_x∈P(A),同时AxA. 令A*=|x∈A:xAx| ()从A~P(A),对于A*∈P(A),x1∈Ax,使得 f(x1)=A* (1,4) 若x1∈A*,则由(1,3)(1,4),得到x1=f(x1)=A*;同理,若x1A*,则x1∈=f(x1)=A*,.(264页) 集G=(0,1)是不可数集. 证用反证法,设G是可数集,则G中所有实数可表为G=|x1,x2,x3,…,xn,…|,其中每个xn可表成十进无限小数的形式: xn=…xn2…(n=1,2,…), (3,2)当规定有限小数写成以9为循环节的无限小数时,…9…,上述表示是惟一的. 取a=…an…,使之满足: (1)对任给的n,an≠0,an≠9;(2)an≠xnn,例如,可取则从(1),0<a<1,即a∈G;但从(2),a又与(3,2)中的任一xn都不相同,即a|xn|,.

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