极限的四则运算法则+极限的运算教案.doc

极限的四则运算法则极限的运算教案极限的运算教案一、学****要求1(掌握极限的四则运算法则(2(会用两个重要极限公式求极限((低)阶无穷小、什么是同阶无穷小以及什么是等阶无穷小(重点极限的求法,两个重要极限,等阶无穷小代换(难点灵活运用极限的四则运算法则、、内容提要在上一节极限的定义中我们学****了函数的极限、数列的极限,极限的性质、无穷小的定义及其性质、无穷大的定义及其与无穷小的关系。本节课我们一起学****极限的运算。极限的求法是本课程的基本运算之一,这种运算涉及的类型多、1技巧性强,我们平时应注意适量地多做一些练****特别要切实掌握基本方法。,limf(x)及limg(x)都存在(此处省略了自变量x的变化趋势),则有下列运算法则:法则1limf(x)g(x)limf(x)limg(x);法则2limf(x)g(x)limf(x)limg(x),法则3limf(x)limf(x)(limg(x)0)(g(x)limg(x)上述极限四则运算法则对自变量的其他变化过程下的极限同样成立(下面我们来证明法则2,其他法则证法类同。证设limf(x)A,limg(x)B,则知f(x)~A,g(x)~B,即f(x)A,,g(x)B,(,都是无穷小)于是f(x)g(x)(A,)(B,)AB,(A,B,)(由无穷小的性质知A,B,仍为无穷小,再由极限与无穷小的关系,得limf(x)g(x)ABlimf(x)limg(x)(例1p28思考题1(1)、(2)2例2求下列函数的极限:21x2~9~),(1)lim(3x~4x,1),(2)lim2,(3)lim(x2x11~x2x3x~5x,61~x2x2~x,1xsinx(4)lim,(5)(lim3x,3x2,2x~2x,,x解(1)lim(3x~4x,1)=lim3x-lim4x+1=5(x2x2x222(2)当x3时,分子、分母极限均为零,呈现“”型,不能直接用商的极限法则,0可先分解因式,约去使分子分母为零的公因子,再用商的运算法则(原式=lim(x~3)(x,3)x,3lim6(x3(x~3)(x~2)x3x~232121,,的极限均不存在,式呈现“~”型,221~x1~x1~x1~x(3)当x1时,不能直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则,可先进行通分化简,再用商的运算法则(即原式=lim(x1212~(1,x)11~)lim(=limx1(1~x)((1~x)(1,x)1~x1,x)x1(1,x)22”型(需分子分母同时除以x,将(4)当x,时,分子分母均无极限,呈现“无穷大的x约去,再用法则求2x2x1x1~,1~,222221xx原式=lim=(limx,3x2x,2x22x233,~,~x2x2x2x2x2(5)不能直接运用极限运算法则,因为当x,时分子,极限不存在,但sinx是有41界函数,即sinx1,而limx,x3x,limx1,13xx,0,因此当x,时,x,,即得x,limxsinx,x3=0(小结(I)应用极限运算法则求极限时,必须注意每项极限都存在(对于除法,分母极限不为零)才能适用((II)求函数极限时,经常出现0~等情况,都不能直接运用极限运算法则,0,,5必须对原式进行恒等变换、化简(约分、通分、有理化、变量代换等),然后再求极限((III)利用无穷小的性质求极限2(两个重要极限(1)limx0sinx1x我们来证明上述重要极限:作如右图所示单位圆,取AOBx(rad),于是有BCOBsinxsinx,ABOBxx,ADOAtanxtanx(由图得SOABS扇形OABSOAD,即111sinxxtanx,222Asinx6都不变号,xsinx当x所以cosxsinx1x上述不等式是当0x2时得到的,但因当x用~x代换时cosx,所以x为负时,关系式也成立(因为limcosx1,又lim11,由极限的夹逼准则知介于他们之间的函数x0x0x0时,极限也是1(这样就证明了limx0sinx1x7”型的,为了强调其形式,我们可以把它写成0注意:这个重要的极限是“lim0sin1(其中代表同一变量)(sin3x1~cosx,(2)lim2x0sin4xx0x例4求下列函数的极限:(1)limsin3xsin3x3xlim3xx03x313解(1)原式=lim(3x)lim(x0sin4xx04xsin4x4144xlimx04x4x(2)先利用二倍角公式cosx1~2sin2x2x,将分子转变成2sin(22xx2sinsin11lim原式=lim(x02x0x2x28222(2)limx1(1,)xe(x1x)的数值表(如下表所