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马尔科夫-从数论到经典分析马尔科夫随机场马尔科夫入学不久就表现出其独特的数学天赋,因此当柯尔金和佐洛塔廖夫这两位教师组织代数与数论的讨论班时,他们毫不犹豫地把这个在中学时代就敢于向大权威谈论自己发现的学生吸收进来。马尔科夫不负众望,他的第一项重要的数学工作,就是沿着柯尔金和佐洛塔廖夫俩人所开辟的道路完成的。型的理论是代数数论中的一个重要课题,欧拉、拉格朗日(,1736-1813)、高斯(,1777-1855)这些大数学家都曾为它付出艰辛的劳动。二元二次型(亦称双二次型)是二次型中最简单的一种形式,在给定其判别式的条件下,寻找二次型的极值是一件十分有意义而又相当棘手的工作,若干年来虽然有一些进展,但是疑点仍然不少。柯尔金和佐洛塔廖夫给出了与判别式相关的两类双二次型的最小值的近似估计,这一结果得到当时法国著名数学家埃尔米特(,1822-1901)的高度评价。马尔科夫1880年的硕士论文就是对这一结果的彻底完善化。他证明了两位老师找到的数值不过是一个收敛于常数的正无穷递减数列中的前两项,而该数列通项的值则取决于一个三元二次不定方程在某些附加条件下的整数解。他还给出了由此类不定方程的解来计算通项的具体方法,从而建立了二次型表示论与著名的丢番图方程的联系。这样,马尔科夫就彻底地搞清了判别式大于零时不定双二次型最小值的分布情况,极大地推进了柯尔金和佐洛塔廖夫的结果。马尔科夫1880年的硕士论文就是对这一结果的彻底完善化。他证明了两位老师找到的数值不过是一个收敛于常数的正无穷递减数列中的前两项,而该数列通项的值则取决于一个三元二次不定方程在某些附加条件下的整数解。他还给出了由此类不定方程的解来计算通项的具体方法,从而建立了二次型表示论与著名的丢番图方程的联系。这样,马尔科夫就彻底地搞清了判别式大于零时不定双二次型最小值的分布情况,极大地推进了柯尔金和佐洛塔廖夫的结果。在这项研究中,马尔科夫已表现出了切比雪夫等前辈学者对他的影响,那就是善于联系经典问题、充分利用初等工具、追求解的精确性、实用性以及不畏繁复计算等鲜明的彼得堡风格。论文附有一个包括前20个通项值计算程序和结果的大表,每一行数据都对应着一个复杂的丢番图方程。甚至早期彼得堡数学学派的一个缺点在这项研究中也有所反映,那就是马尔科夫完全排斥了几何背景,因为他同切比雪夫一样怀疑几何语言的严密性。其实,在型表示论中借用几何语言是最自然不过了,高斯关于三元二次型几何意义的说明被认为是闵可夫斯基(,1864-1909)关于数的几何理论的开端,早期彼得堡数学家在这一领域可谓失之交臂。不管怎么说,马尔科夫这项工作的完成,表现了他超乎寻常的数学直觉和洞察力。这种能力加上坚韧不拔的毅力,使他很快就超过了自己的许多老师和同辈,成为彼得堡数学学派的杰出代表和中坚分子。双二次型最小值的分布搞清楚以后,马尔科夫开始注意多个变元的二次型,只是由于教务倥偬,直到十一年后才发表了进一步的研究成果。1901年,他在《关于不定三元二次型》中给出了该类型的前四种极值形式(其中一种也为柯尔金所得到)。1909年,他汇集了自己关于三元二次型的成果,出版了包括所有判别式不大于50的三元二次型最新数据在内的专著。这些工作都是伴随着大量复杂的计算进行的,马尔科夫不仅通过计算提供了问题的解,而且对于发展计算方法也做出了贡献。以后他又研究了四元二次型,并得到其极值的前两种形式。代数数论中的另一个重要课题是关于理想的理论。1843年,德国数学家库莫尔(,1810-1893)在企图证明费尔马大定理的壮举中被一道小河沟挡住了。看过他手稿的狄里克莱(,1805-1859)不客气地指出,代数域上的素因子分解唯一性定理对代数数不一定成立,而素因子唯一分解的假定对于他的证明又是绝对必要的。为了克服这一障碍,库莫尔开始在一系列论文中创立和发展一种叫做理想的理论,借助理想数来实现代数域上素因子的唯一分解,从此对理想的研究在一个时期内达到高潮。佐洛塔廖夫曾致力于三次方根域上理想素因子的分解,可惜这位英华早发的学者三十一岁就逝世了。在为纪今佐洛塔廖夫而出版的文集中,马尔科夫给出了三次方根域上理想素因子分解的当时最好结果。马尔科夫等人在代数数论方面的工作与切比雪夫在解析数论方面的工作一起,确立了彼得堡数学学派在数论领域的领先地位。但他并不以此为满足,而是很快地把目标转向一系列更广的数学题材,特别是在经典分析领域做出了新的贡献。经典分析是彼得堡数学学派擅长的又一个领域,马尔科夫广泛涉猎了这一领域中的若干分支:从矩的理论到积分运算、从函数逼近论到微分方程、从内插法到近似计算,处处都有他辛勤耕耘的足迹。而这一系列工作是从切比雪夫的一篇论文开