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数模竞赛辅导专题之多元统计模型多元统计模型——数模竞赛辅导专题河南科技大学数学与统计学院武新乾(2010-07-23)一、前言24年前(1986年),美国出现了大学生数学建模竞赛。随着改革开放的进程,数模竞赛逐渐传入我国。1992年,开始国内第一届大学生数学建模比赛。数模竞赛一经传入,便受到了全国高校的普遍关注,引起了大学生的广泛兴趣。特别是近年来,虽然试题难度不断增大,但是,参赛的学生规模空前膨胀,获奖的组队也日益增加,论文质量不断提高。综观18年的竞赛试题,问题广泛,解决方案多种多样,其中基于统计分析的问题屡见不鲜。比如:1992年A题(简单记为1992A,下同)“施肥方案对作物、蔬菜的影响”,采用多元二次回归、全回归、逐步回归和二次响应面回归;1993A“非线性交调的频率设计”,采用最小二乘方法(简单记为LS);1998A“资产投资收益与风险模型”和2000A“DNA序列的分类”,都采用多元分析方法;2001A“血管管道的三维重建”和“血管切片的三维重建”,分别采用LS方法和非线性拟合;2001B“公交车调度的规划数学模型”,采用聚类分析、平滑方法和随机过程的有关知识;2003A“SARS传播的数学原理及预测与控制”和“SARS传播的研究”,均考虑了时间序列的应用;2003A“SARS传播预测的数学模型”,采用非线性拟合,建立了指数模型;2004A“MS网点的合理布局”采用了聚类分析,“基于利润最大化的实运商业网点分布微观经济模型”采用多元统计分析方法,另外,“临时超市网点的规划模型研究”考虑了经验分布的应用;2004B“电力市场的输电阻塞优化管理(指导教师:肖华勇)”和“电力市场输电阻塞管理模型”,均使用了多元线性回归;2005A“长江水质的评价和预测”、“长江水质的评价预测模型”(二元线性回归预测)、“基于回归分析的长江水质预测与控制”,均考虑了回归分析,此外,“长江水质评价和预测的研究”、“水质的评价和预测模型”,均考虑了时间序列分析方法和多元线性回归模型;2005B“DVD在线租赁系统的优化设计”应用了抽样统计和随机服务模型,“DVD在线租赁问题”和“DVD租赁优化方案(指导教师:孙浩)”考虑了二项分布和随机模拟;2005B“DVD在线租赁问题研究”和2005C“雨量预报方法的评价模型”考虑了均值的应用;2006B“艾滋病疗法评价及疗效预测模型”使用了二次曲线和多元方差分析,“艾滋病疗法评价及疗效的预测模型”使用了逐步回归方法,“艾滋病疗法的评价及疗效的预测模型”应用了假设检验和方差分析,“艾滋病疗法的评价及疗效的预测”使用了线性拟合、二次和三次曲线拟合与非线性回归,“基于数据统计分析的艾滋病疗效评价方法”采用了F-检验和二次多项式回归;2007A“中国人口区域结构向量模型”采用了倒数曲线模型拟合,“基于Leslie模型的中国人口预测及蒙特卡罗仿真(指导教师:梅长林)”应用了概率方法;2008A“数码相机定位”应用了多元线性回归分析;2008B“高等教育学费标准探讨(华南农业大学,编号1910)”应用了因子分析、主成分分析和聚类分析,“高等教育学费标准的探讨(华南农业大学,编号1920)”采用了多元回归分析、数据挖掘和模拟退火算法,“关于高等教育学费标准的评价及建议(编号cumcm0849)”和“高校学费合理性研究(编号cumcm0860)”分别考虑了回归分析和曲线拟合。由是可知,多元统计分析是常见的解决数模竞赛的主要工具之一,务必给以充分的重视和加强训练指导。二、,(1)其中为观察值,为独立同分布(.)随机误差序列,并且。易知,参数和的最小二乘估计(LSE)为,(2)其中,,。于是,所得线性回归方程为。(3)在应用回归方程(3)进行拟合、预测和控制之前,必须进行检验问题。(4)常用统计量为,(5)其中为回归平方和,为残差平方和。当原假设成立时,。(6)对于给定的显著性水平,由,查表确定临界值。当时,拒绝原假设,说明与之间存在线性关系,回归方程有意义。否则,回归方程无意义,这时有几种可能性:①确实对无任何影响;②对有影响,但不是线性关系;③除以外,还有另外的因素对有影响,这时需要进一步研究。变量与之间的线性关系的判断,除了上述方差分析法以外,还可以利用相关系数检验法。样本相关系数,(7)它是总体相关系数的估计量。具有一个特性,它只依赖于样本容量和总体相关系数。当原假设成立时,统计量。(8)这说明也可以利用检验法对原假设进行检验。诚然,在使用统计软件进行假设检验时,往往会输出值,也可以直接利用进行检验判断,这里,为统计量的样本值。当时,拒绝原假设,认为对的线性影响是显著的,否则,认为对的线性影响是不显著的。只有当拒绝原假设,即认为对的线性影响是显著时,才能利用线性回归