滑动平均模型与自回归滑动平均模型.doc

第三章滑动平均模型与自回归滑动平均模型若平稳序列{}tX的自协方差函数0,0(qkkqγγ≠=>.则称{}tX是q步相关的.(或自相关系数kρ滑动平均模型:1,qttjtjjXbtεε-==+∈∑q步相关基本问题:模型参数20,1~,,,(kkqbfγρσλ⎧⇔⎨⎩ˆˆˆ,,(tkkXfγρλ→§(:1,1~196tttxyyt+=-=.=,及19611ˆ((196kkttktxxxxγ-+==--∑:-1-=-≠ˆ0,1kkρ≈>,故认{}(1表示1,tttXbtεε-=+∈,2~WN(0,tεσ参数b由22201(,bbγσσγσ=+=求得:--==-.010********-(q模型和MA((q模型=q阶滑动模型:1,qttjtjjXbtεε-==+∈∑(*其中1(10,||1qjjjBzbzz==+≠<∑,0qb≠,2~WN(0,tεσ,由此,平稳{}tX称为MA((0,||1Bzz≠≤,则称(*为可逆的MA(q模型,相应的平稳序列称为可逆的MA(,(*可写成:(,ttXBtε=∈B对可逆的MA(q模型:10(,||1jjjBzzzϕ∞-==≤∑从而可得1(,ttjtjjBXXtεϕ∞--===∈∑B另外引入01b=,易得20,0,E(0,qkjjkjkttkbbkqXXkqσγ-+=+⎧≤≤⎪==⎨⎪>⎩∑(q序列的自协方差函数是截尾的20,0(qqkbkqγσγ=≠=>且有谱密度22ii1((ee,[,]22qkkqfBλλσλγλππππ-=-==∈-∑.(e,[,]2qjjqgcλλλπππ-=-=∈-∑,0qc≠则有惟一实系数多项1(10,||1qjjjBzbzz==+≠<∑,0qb≠.使得22i((e2gBλσλπ=,这里2σ为某常数.({}tX零均值,自协方差{}kγ,则{}tX是MA(q序列0,0,qkkqγγ⇔≠=>.证必要性,,证略.*:零均值平稳序列{}tX中每一tX都重要,缺一不可,即{}\{}tsXX∀生成空间{}tX≠(有部分相关的,则不是最小序列.*(见[7]设平稳序列{}tX有谱密度(fλ,则{}tX是最小序列的⇔d(fππλλ-<∞⎰.由此可得:可逆的MA(((q序列都是最小序列;任何有谱密度的平稳序列,若其谱密度连续恒正,(-=+,2~WN(0,tεσ,1b<,则不难得:22201(1,,0(1kbbkγσγσγ=+==>;自相关系数:2(1,1,0,⎧+=⎪=⎨>⎪⎩谱密度:22i(1e,[,]2fbλσλλπππ=+∈-(注:逆转后2221,((1(1,1kkkkabbbk+-=----≥偏相关系数不截尾;逆转形式0(jttjjbXε∞-==-∑=,(2模型1122,ttttXbbtεεε--=++∈,2~WN(0,tεσ,特征多项式:212(1Bzbzbz=++(1可逆域212{(0,1}{1,1}Bzzbbb≠≤=±>-<与AR(2的平稳域对应.(2自协方差函数(由公式可得222012(1bbγσ=++,21112(bbbγσ=+,222bγσ=,0,=>(3自相关系数112122121bbbbbρ+=++,2222121bbbρ=++,0,2kkρ=>(4谱密度22ii212(1ee2fbbλλσλπ=++.--=-+,2~WN(0,*********-10-(q系数的递推计算文[5]**********,0000001000000qqqAC⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭1212312111,kkkqqqqqkqqqγγγγγγγγΩγγγγ+++-⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭γ2021,(ACσγ∏∏σ=-=-bγ,其中1limTkkkk∏ΩΓΩ-→∞=.若取2q=,则有1122011,,,000bACbγ