模糊值函数的凸性与次可微性.pdf

2012年10月第28卷第5期纯粹数学与应用数学Pureand Applied MathematicsOct. 2012Vol. 28 No. 5模糊值函数的凸性与次可微性关世霞,包玉娥,赵慧冬(内蒙古民族大学数学学院,内蒙古通辽028043)摘要:在Goetschel-Voxman所定义的序关系下,首先讨论了模糊值函数的凸性,得到了凸模糊值函数的若干充分条件,并证明了凸模糊值函数的Jensen不等式;其次,讨论了凸模糊值函数的次可微性,给出了次微分的若干重要性质,:模糊值函数;梯度;次微分;最优解中图分类号::A文章编号:1008-5513(2012)05-0676-111引引引言言言自从模糊数学理论建立以来,由于它在处理广泛存在的模糊性方面的成功,,并在众多学者的共同努力下,,自然想把经典数学规划中的某些方法推广应用到模糊规划中,从而也开始探讨了凸模糊集合和凸模糊值函数在模糊规划中的应用,[1]提出了模糊值函数的方向导数和次微分,,2005年文献[2]也提出了凸模糊值函数的次梯度,次微分等概念,,[3]利用Goetschel-Voxman在文献[4]中所给出的序关系,讨论了模糊值函数的凸性问题,得到了很好的结果. 2010年文献[5]中,同样利用此序关系讨论了模糊值函数的可微性,并利用梯度讨论了模糊规划及凸模糊规划等问题,[6],利用Goetschel-Voxman在文献[4]中所给出的序关系,,如果u满足下列条件:(1)u是上半连续的;收稿日期:2011-11-:内蒙古教自然科学基金(2010MS0119).作者简介:关世霞(1985-),硕士生,研究方向:模糊分析,:模糊值函数的凸性和次可微性677(2)u是正规的,即存在x0∈R,使得u(x0) =1;(3)u是凸模糊集,即对于任意的x, y∈R及0≤λ≤1,有u(λx+(1?λ)y)≥min{u(x), u(y)};(4) [u]0={x|u(x)>0}[7],并且记E1为R上的所有模糊数构成的空间(叫做模糊数空间).?r∈R也可以看成一个模糊数er:er(t) =???1, t=r,0, t?=∈E1,u的α-水平截集:[u]α=???{x|u(x)≥α},0< α≤1,{x|u(x)>0}, α=,记作[u]α= [a(α), b(α)],并称a(α)和b(α){(a(α), b(α), α)|0≤α≤1}为u的参数表达式,记作u={(a(α), b(α), α)|0≤α≤1}.由模糊数形式表示定理[7],有E1={(a(α), b(α), α)|0≤α≤1,(a(α)单调不减, b(α)单调不增,均左连续且在α= 0处右连续},记bV={(a(α), b(α), α)|0≤α≤1, a: [0,1]→R;b: [0,1]→R是Lebesgue可积函数}V={(a(α), b(α), α)|0≤α≤1, a: [0,1]→R;b: [0,1]→R是有界函数}则V在加法运算和数乘运算:u+v={(au(α) +bu(α), av(α) +bv(α), α)|0≤α≤1},ru={(rau(α), rbu(α), α)|0≤α≤1}之下成为向量空间,且E1?:D({(a1(α), b1(α), α)|0≤α≤1},{(a2(α), b2(α), α)|0≤α≤1})= supα∈[0,1]max{|a1(α)?a2(α)|,|b1(α)?b2(α)|},则(V, D)是拓扑向量空间,(bV , D)是完备的度量空间[7].678纯粹数学与应用数学第28卷对于ui∈bV ,ui={(ai(α), bi(α), α)|0≤α≤1},