高等代数研究生招生考试真题2.doc

高等代数研究生招生考试真题2.doc高箋代数研究生招生考试真题2高等代数试题特别声明:1考试时间:180分钟;满分150分。2下文中出现的P表示一般数域;R表示实数域。-选择题(每题3分,共15分;每题只有一个正确答案)1给定命题:实系多项式在复数域上不可约多项式只可能是一次的;,2元复系二次型/(切在复数域上规范形为才+卅+・・・+疋;复矩阵A与对角矩阵相似充分必要条件为A的初等因子是一次的;整系多项式在有理数域上没有有理根,则该多项式在有理数域上一定不可约。对于命题①,②,③,④,下列说法正确的是A)①和③错误,②和④正确;B)①和③正确,②和④错误;①和②错课,③和④正确;C)/、a\\a\2a\3/、a3la33a32‘001、<100、6Z99d°3,B=d” ^22,Ps=010'卩2=001\a3la32°33丿\ai\a\3ai2)JOO丿<010,\/D)①和②止确,③和④错课。已知矩阵A=•|A|工0・axxx+a2x2+a3x3+a4x4=、‘113方程组<g+阮+b血+g=%,的通解(也称全部解)为1+k-1C內+C2X2+C3X3+C4X4=C5902d]兀]+d2x2+d3x3+d4x4=d53<o>A)P/■迟;B)P2A'P^C)伙gR).设%=(q,b/,C/,dy(i=1,2,・・・,5),则P}P2Aa;D)P/A]P2,A)务一定可以由a2,a3,a4线性表示;B)⑦一定不能由a2,a3,a4线性表示;C)勺一定可以由WSS线性表示;D)勺是否可以由QiSS线性表示不确定。(a 、(\a1>4设4=a,B=a1,c=a1侧<J< J< 勺(没有写岀元素均为零)。A)A与B相似;B)A与C相似;C)B与C相似;D)A、B、C都不相似。5矩阵A的元素rfl1和・1组成,则对|4|而言,下列结论 一定成立。A)|A|=0;B)|A|为奇数;C)|A|为偶数;D)|A|=(每题3分,共15分)1三阶矩阵A的特征值为1,2,3,每为A的代数余子式,则久+码+绻二 。R上由矩阵A全体实系多项式组成的线性空间的维数为 ,其小‘100A=0co0、00arn阶矩阵A,B,C满足A实对称,AB=0,AC+3C=0,R(B)+/?(C)=n,贝U实二次型/(%)的标准型为 ,其中R(B),R(C)表示矩阵5C的秩,且R(B)=r<n.'2-100、2■矩阵A(a)=0/1-10的不变因子为 。00 A-1 ,10 02+2丿5对于吃元实二次型f(x)=xTAx,在“①V"0J(兀)>0;②矩阵A的所有特征值都大于零;③正惯性指数等于仏④存在可逆矩阵",使A=UTU-⑤矩阵A的顺序主子式全大于零”屮,与/(兀)正定等价的有 o三 (本题满分12分)矩阵4秋“实对称,冲色,…‘勺(乙H0)为〃维列向量,口Aat=a2,Aa2= …,Aan^==0.(1)证明⑦,色,…,色线性无关;(2)求矩阵A的所有特征值和对应的特征向量。0•…02…0四(本题满分8分)矩阵A二(〃>1),每为A的代数余子式。0…n-\0…0求Au+At2t A如•五(本题满分10分)证明(f(x)h(x\g(x)h(x))=(/(x),g(x))h(x),其中/(兀),g(x),h(x)为数域P上非零多项式,且加兀)(本题满分12分)设V是7?维向量