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高一数学第二章函数同步辅导讲义第二章函数同步辅导第一讲映射与函数一、辅导内容映射、一一映射的定义和概念的理解函数的定义、表示。函数的三要素及函数的表达方法。二、重点、、一一映射(1)集合A到集合B的映射有三个要素,即集合A、,,映射的定义未对此作具体要求,它们的元素能够是数,能够是点,(2)一个对应要满足下面两个条件才能称为集合A到集合B的映射:①集合A中的每一个元素(一个不漏地)在集合B中都有象(但集合B中的每一个元素不一定都有原象);②集合A中的每一个元素在集合B中的象只有唯一的一个(集合B中的元素在集合A中的原象可能不止一个).也就是说,××××××××图1AB××××××××图2(3)对于上述映射,如果加上一个条件,要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象,则这样的映射称为“集合A到集合B上的映射”.如果在此基础上再加上一个条件,要求集合B中的每一个元素在集合A中的原象只有唯一的一个,则这样的映射称为“集合A到集合B上的一一映射”.12345abcdeBA④例1如图3,集合A={1、2、3、4、5},B={、、、、}.判断下列对应中,(1)哪些是集合A到集合B的映射;(2)哪些是集合A到集合B上的映射;(3)①图312345abcdeBA③12345abcdeBA②解(1)②和④是集合A到集合B的映射,①中集合A的元素3在集合中没有象;③中集合A的元素3在集合B中有两个象,它们都不是映射.(2)②是集合A到集合B上的映射.④中集合B的元素b在集合A中没有原象.(3)②={},B={}.判断下列各对应f是否是集合A到集合B的映射?一一映射?并说明理由.(1):;(2):;(3):;(4):;(5):解(1)∵,∴.因此对集合A的每一个元素,,所以对应:,由及,,且这样的原象只有一个,所以对应:是一一映射.(2)∵,∴.所以对于集合A中的每一个元素,在集合B中都有唯一的象,因此对应:,如,在集合A中没有原象,因此映射:不是一一映射.(3)∵,∴,∴.由此知集合A的某些元素,如,在集合B中没有象,因此对应:不是映射,更不是一一映射.(4)∵,∴.因此对于集合A中的每一个元素,在集合B中都有唯一的象,所以对应:,对于集合B中的每一个元素,,即集合B中的每一个元素在集合A中有唯一的原象,因此映射:是一一映射.(5),都对应于集合B中的同一个元素,所以对应:是映射,(1),用变量来定义的,,,对某些函数难以进行研究,,,:要成为函数,还必须满足两个条件:①集合A、B都是非空集合;②集合A、,,值域C是集合B的子集,即.(若集合,则这个映射就成为集合A到集合B上的映射).(2),值域C和定义域A到值域C的对应法则,,,主要观察它们的定义域和对应法则是否相同.(3)区间设、,[]表示集合{},用开区间表示集合{},用半开半闭区间表示集合{},用半开半闭区间表示集合{}.(4):解析法,列表法及图像法,(为常数),是一个随自变量的变化而变化的变量,而是当自变量时函数的值,,这里的函数能够是在不同区间中(或不同条件下)表达式不同的分段函数,因此函数的图像也不一定是一条平滑曲线,它可能是一些孤立的点,一些线段,,并说明理由.(1),;(2),;(3),;(4),(5),;(6),.解(1)不是同一个函数,两者的定义域不同,它们的定义域分别为和.(2)不是同一个函数,它们的对应法则和值域都不同.,其值域为;,其值域为.(3)不是同一个函数,.(4)不是同一个函数,它们的定义域不同,定义域分别是和.(5)是同一个函数,.(6)是同一个函数,虽然自变量用不同的字母表示,但定义域、,,=.=.评析由此可见,在求时,只要用代替表达式中的,然后再将的表达式代入其中,,.(x>0),(x=0),(x<0),(1)已知求,,,;(2)已知且,(1)∵,∴.∵,∴...(2)当;当;(1)画出函数的图像;(2)画出函数的图像;(3)已知函数的图像如右图,