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电路方程的矩阵形式第十五章电路方程的矩阵形式重点:; ; 。难点: 电路状态方程列写的直观法和系统法。§ 图的矩阵表示有向图的关联矩阵电路的图是电路拓扑结构的抽象描述。若图中每一支路都赋予一个参考方向,它成为有向图。有向图的拓扑性质能够用关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵描述关联矩阵是用结点与支路的关系描述有向图的拓扑性质。回路矩阵是用回路与支路的关系描述有向图的拓扑性质。割集矩阵是用割集与支路的关系描述有向图的拓扑性质。本节仅介绍关联矩阵以及用它表示的基尔霍夫定律的矩阵形式。一条支路连接某两个结点,则称该支路与这两个结点相关联。支路与结点的关联性质能够用关联矩阵描述。设有向图的结点数为n,支路数为b,且所有结点与支路均加以编号。于是,该有向图的关联矩阵为一个阶的矩阵,用表示。它的每一行对应一个结点,每一列对应一条支路,它的任一元素定义如下: ,表示支路k与结点j关联并且它的方向背离结点; ,表示支路k与结点j关联并且它指向结点; ,表示支路k与结点j无关联。对于图所示的有向图,它的关联矩阵是关联矩阵的特点: 图①每一列只有两个非零元素,一个是+1,一个是-1,的每一列元素之和为零。②矩阵中任一行能够从其它n-1行中导出,即只有n-1行是独立的。如果把的任一行划去,剩下的矩阵用表示,并称为降阶关联矩阵(今后主要用这种降阶关联矩阵,所以往往略去“降阶”二字),被划去的行对应的结点能够当作参考结点。例如,若以结点4为参考结点,把上式中的第4行划去,得若以结点3为参考结点,把上式中的第3行划去,得矩阵的某些列将只具有一个+1或一个-1,每一个这样的列必对应于与参考结点相关联的一条支路。注意:给定能够确定,从而画出有向图。 电路中的b个支路电流能够用一个b阶列向量表示,即若用矩阵左乘电流列向量,则乘积是一个阶列向量,由矩阵相乘规则可知,它的每一元素即为关联到对应结点上各支路电流的代数和,即因此,有上式是用矩阵表示的KCL的矩阵形式。,以结点4为参考结点,有: 上式为n-1个独立方程。 电路中b个支路电压能够用一个b阶列向量表示,即个结点电压能够用一个阶列向量表示,即由于矩阵的每一列,也就是矩阵的每一行,表示每一对应支路与结点的关联情况,所以有例如,对图有: 可见上式表明电路中的各支路电压能够用与该支路关联的两个结点的结点电压(参考结点的结点电压为零)表示,这正是结点电压法的基本思想。同时,能够认为该式是用矩阵表示的KVL的矩阵形式。小结:①矩阵表示有向图结点与支路的关联性质。②用表示的KCL的矩阵形式为③用表示的KVL的矩阵形式为。§ 支路电压电流的矩阵形式在列矩阵形式电路方程时,必须有一组支路约束方程。因此需要规定一条支路的结构和内容。能够采用所谓“复合支路”。,其中下标k表示第k条支路,和分别表示独立电压源和独立电流源,(或)表示阻抗(或导纳),且规定它只可能是单一的电阻、电感或电容,而不能是它们的组合,即图注意:复合支路只是定义了一条支路最多能够包含的不同元件数及连接方式,但允许缺少某些元件。另外,为了写出复合支路的支路方程,还应规定电压和电流的参考方向。本章中采用的电压和电流的参考方向如图所示。