复变函数第二章第三节 -课件（PPT·精·选）.ppt

(单叶函数)设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不同的两点z1及z2都有f(z1)≠f(z2),则称函数f(z)(z),区域D到区域G的单叶满变换w=f(z)就是D (z)=(z)==wn,则称w为z的n次根式函数,记为:的特点。例,简单介绍多值函数下面以二次根式函数为nw z?, 根式函数为幂函数z= z?(1) 0 0nz w? ?????20 | |kinnnkkz w z z e? ??? ???0,1, 1k n? ??argz z?? ?的主辐角,),20(2/iArgzierzwrez????????设1. 根式函数的具体数值无法确定。来说,/)2(2/???????iiererwzCz连续变为将由,从而变,但其幅角却变为值虽然不的位置,环绕原点一周回到原来沿某一条闭合曲线若根式的值也保持不变。的幅角不变,因而二次置,环绕一周回到原来的位闭合曲线沿某一条不包含原点的但若zCz1(2) 分出根式函数的单值解析分支.??20kin nnnkkkiz w z re re? ???? ????2 arg 2= 0,1, 1kk z kk nn n? ? ??? ?? ???120 10n niiw re w re? ??????? ?????22 22niw re? ? ???????????2 ( 1)11nnnniw re? ? ???????????????2kknkiw re? ? ???????????? ?从原点O起到点∞任意引一条射线将z平面割破,该直线称为割线,在割破了的平面(构成以此割线为边界的区域,记为G)上,?argz<2?,从而可将其转化为单值函数来研究。wk在其定义域上解析,且????1nknkkzw zn z??? ?1,,1,0??nk?,)()(2)arg(nkzinknkezrzw????nw z?分成如下的n个单值函数:(3) 的支点及支割线定义1设为多值函数,为一定点,作小圆周( )w f z?a:C z a r? ?zCa( )f z, 0nw z z? ?:C z r???,若变点沿转一周,回到出发点时,函数值发生了变化,则称为的支点,如就是其一个支点,这时绕转一周也可看作绕点转一周, z?常用方法:从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:nw z?nw z?0z x? ?定义2 设想把平面割开,借以分出多值函数的单值分支的割线,) ) ) 支割线改变各单值分支的定义域,) 对,当以负实轴为支割线时,、对数函数1. ,)()0(zwzfwzzew????:.π2,)(, Arg的整数倍并且每两值相差也是多值函数所以对数函数为多值函数由于izfwz?ivuwrezi???,?令?iivuwreezezw??????Ln)(2,Zkkvreu???????ArgzZkkvru??????)(2),(ln??实对数)()2(lnLnZkkirzw????????)()2(arg||ln||lnLnZkkziziArgzzz???????即,arg ArgArglnLnzzzizz取主值中如果将??.LnlnLn的主值称为,记为为一单值函数,??.Ln,,的一个分支称为上式确定一个单值函数对于每一个固定的zk说明:w=Lnz是指数函数ew=z的反函数,Lnz一般不能写成lnz,Lnze z?其余各值为),,2,1(2lnLn???????kikzz例1.)1