各类不等式的解法.docx

各类不等式的解法一、不等式的基本性质不等式的基本性质有:(1)对称性或反身性:a>bb<a;(2)传递性:若a>b,b>c,则a>c;(3)可加性:a>ba+c>b+c,此法则又称为移项法则;(4)可乘性:a>b,当c>0时,ac>bc;当c<0时,ac<bc。不等式运算性质:(1)同向相加:若a>b,c>d,则a+c>b+d;(2)正数同向相乘:若a>b>0,c>d>0,则ac>bd。特例:(3)乘方法则:若a>b>0,n∈N+,则;(4)开方法则:若a>b>0,n∈N+,则;(5)倒数法则:若ab>0,a>b,则。例1:1)、)、设,)已知满足,试求的取值范围.。。二、一元二次不等式的解法一元二次不等式或的求解原理:利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。二次函数的图象一元二次方程的根有两相异实根有两相等实根无实根解集R的解集【例题讲解】:(1)(2)(3)(4)(1)(2)(-2,3),求不等式的解集.,不等式对于一切实数都成立?三、分式不等式与高次不等式的解法:数轴标根法(奇穿偶切)典型例题例1解下列不等式(1)<0(2)3+<0(3)>-3(4)>1例2解下列不等式:(1)(x+1)(x-1)(x-2)>0(2)(-x-1)(x-1)(x-2)<0x(x-1)2(x+1)3(x+2)≤0(4)(x-3)(x+2)(x-1)2(x-4)>0(5)(6).(7)(8)四、无理不等式的解法解无理不等式的基本方法就是将其转化为有理不等式组,在转化过程中一定要注意等价变换题型Ⅰ:例1解不等式⑴⑵题型Ⅱ:例2解不等式题型Ⅲ:例3解不等式例4解不等式例5解不等式五、绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法关键就在于去掉绝对值,而去掉绝对值,则需要对绝对值中的零点进行讨论,一般来说一个零点分两个范围,两个零点分三个零点,依次类推.(1)含有一个绝对值:不等式的解集是;不等式的解集是不等式的解集为;不等式的解集为(2)含有多个绝对值:零点分段法例1解不等式(1).(2)(3)(4)1|2x-1|<5.(5)|4x-3|>2x+1例2解不等式:(1)|x-3|-|x+1|<1.(2)|x|-|2x+1||>(x)=|x-2|-|x-5|.(I)证明:-3≤f(x)≤3;(II)求不等式f(x)≥x2-8x+、指数不等式与对数不等式利用指数函数及对数函数的单调性转化为代数不等式.:、基本不等式(也叫均值不等式)≤a>0,b>0a=b(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R)(2)ab≤()2(a,b∈R)(3)≥()2(a,b∈R)(4)+≥2(a,b同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是a=>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:,y都是正数.(1)如果积xy是定值P,那么当x=y时和x+y有最小值2.(2)如果和x+y是定值S,那么当x=,b的等差中项为4,则a,b的等比中项的最大值为( ) ,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )+b2>2ab +b≥2C.+≥D.+≥+2y=4,则2x+4y的最小值是( ) >1时,求函数f(x)=x+,y>0,且满足+=1,,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=、b、c为正实数,且a+b+c=1,求证:(-1)(-1)(-1)≥、不等式的证明(一)比较法:(作差法)步骤:作差——变形——判断与0的关系——结论