各类不等式的解法.doc

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各 类 不 等 式 的
一、不等式的基本性质
不等式的基本性质有：
(1) 对称性或反身性：a>b b<a;
(2) 传递性：若 a>b, b>c,则 a>c;
(3) 可加性：a>b a+c>b+c,此法则又称为移项法则；
⑷ 可乘性：a>b，当 c>0 时，ac>bc;当 c<0 时，acvbc。 不等式运算性质：
(1) 同向相加：若 a>b, c>d，则 a+c>b+d;
(2) 正数同向相乘：若a>b>0, c>d>0,则ac>bd。
特例：(3)乘方法则：若a>b>0, n€N +，则an bn ；
1 1
⑷开方法则：若a>b>0, n€N +，则a下bn ；
1 1
(5)倒数法则：若ab>0, a>b,则-匚。
a b
例1： 1)、 8 ,6与. 7 ■. 5的大小关系为 .
2 ）、设 n
1,且n 1,则n3 1与n1 2 n的大小关系是
3 )已知
一元二次不等式ax2 bx c 0(a 0)或ax2 bx c 0(a. 0)的求解原理：利用二次函
数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。
：
X2 5 ⑷
(1) 2x2 3x 2 0
2x2 x 1 0
(2) 9x2 6x 1
⑶ 4x
二次函数
y af bx c(a
0)的图象
一兀二次方程
a 0的根
ax bx c 0
有两相异实根
有两相等实根
无实根
af bx c 0a
0解集
R
2
ax bx c 0a
0的解集
【例题讲解】
8
8

8
8
7x
5x
10
2
2
(2) x
5
2x
2 x
3 0
4x

2
ax
bx
c 0的解集为(-2,3),求不等式cx2 ax
b 0的解集
8
8
,
2 3
不等式2kx2 kx 0对于一切实数x都成立?
三、分式不等式与高次不等式的解法
8
1. 分式不等式解法
2. 高次不等式解法：数轴标根法（奇穿偶切）
典型例题
例1解下列不等式
x— 3 2
⑴审 V0 (2)3 + x V0
2 — x
(3)x—5 > 3^ — 3
(2)
(4)
(5) 2x3 x2 15x 0
⑺三1总
(6) (x 4)(x 5)2(2 x)3 0 .
(8)
x2 4x 1
3x2 7x 2
例2解下列不等式:
(1 ) (x+1)(x-1)(x-2)>0
(-x-1)(x-1)(x-2)<0
(3) x(x-1) 2(x+1) 3(x+2) < 0
(x-3)(x+2)(x-1) 2(x-4)>0
四、无理不等式的解法
解无理不等式的基本方法就是将其转化为有理不等式组， 在转化过程中一定
要注意等价变换
题型 I： ■■ f (x) ,g(x)型
(f(x) °)定义域
g(x) 0
f(x) g(x)
例1 解不等式⑴1 x 3x 2 0 ⑵.,5 2x .、x 1
题型 H： . f(x)
例2解不等式
g(x)型
f(x) g(x) f(x)
0 十 f(x) 0
0 或
2 g(x) 0 [g(x)]
2x2 3x
1 1
2x
题型川：.f(x)
f (x)
0
g(x)型
g(x)
0
例3解不等式
f(x)
[g(x)]2
.2x2 3x
1 1 2
!x
例4解不等式2
x 1 . x
1 1
例5解不等式
x2 ■. 6x
x2 3
五、绝对值不等式的解法
含有绝对值的不等式的解法关键就在于去掉绝对值 ，而去掉绝对值，则
需要对绝对值中的零点进行讨论，一般来说一个零点分两个范围，两个零点 分三个零点，依次类推•
(1) 含有一个绝对值：
不等式x a(a 0)的解集是x a x a ；
不等式x a(a 0)的解集是xx a,或x a
不等式ax b c(c 0)的解集为 x| c ax b c (c 0