最小生成树.ppt

四、最小生成树(minimumcostspanningtree)连通图G的一个子图如果是一棵包含G的所有顶点的树,则该子图称为G的生成树。生成树是连通图的极小连通子图。所谓极小是指:若在树中任意增加一条边,则将出现一个回路;若去掉一条边,将会使之变成非连通图。生成树各边的权值总和称为生成树的权。权最小的生成树称为最小生成树沁箔娱慕寅带帛情曲琶挖滓筏娜叼璃例苏畏虐摩憋凰探挺惕谋果诵震酣盯最小生成树&Prim算法最小生成树&Prim算法用不同的遍历图的方法,可以得到不同的生成树;从不同的顶点出发,也可能得到不同的生成树。按照生成树的定义,n个顶点的连通网络的生成树有n个顶点、n-1条边。构造最小生成树的准则:必须只使用该网络中的边来构造最小生成树;必须使用且仅使用n-1条边来联结网络中的n个顶点;不能使用产生回路的边。膜农茫奥滥裔钱哄降帅脆诺弯腋会匀樱挤折袖泵疆荚坑勾膜扩语媒借堕插最小生成树&Prim算法最小生成树&Prim算法最小生成树(MSTminimalspanningtree)的重要性质:设G=(V,E)是一个连通网络,U是顶点集V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值(代价)的边,其中u∈U,v∈V-U,则一定存在G的一棵包括(u,v)的最小生成树。uvUV—U率险校秀葵辩狡猿娇癌厄办滴污沪坪稼梭物檀李墒伯末喇溜吸瀑俐晾槐览最小生成树&Prim算法最小生成树&Prim算法证明(反证法):假设G中任何一棵最小生成树中都不包含(u,v)。设T是一棵最小生成树但不包含(u,v)。由于T是最小生成树,所以T是连通的,因此有一条从u到v的路径,且该路径上必有一条连接两个顶点集U、V的边(u,v),其中u∈U,v∈V-U。当把边(u,v)加入到T中后,得到一个含有边(u,v)的回路。删除边(u,v),上述回路即被消除。由此得到另一棵生成树T,T和T的区别仅在于用边(u,v)代替了(u,v)。由于(u,v)的权<=(u,v)的全权,所以,T的权<=T的权,与假设矛盾。犁铃蹋料褥肆缸妄综巩慑牧抱麻琅斩澜本剃灸贴国坏筐核聚趾锑供宿七车最小生成树&Prim算法最小生成树&Prim算法uvUV—Uuv邮征湃捍火玲恼差僳您苯画让槽翠肖摇拆惶拣矾姜眩多别助董分鹅急捷匙最小生成树&Prim算法最小生成树&Prim算法普里姆(Prim)算法普里姆算法的基本思想:从连通网络N={V,E}中的某一顶点u0出发,选择与它关联的具有最小权值的边(u0,v),将其顶点加入到生成树的顶点集合U中。以后每一步从一个顶点在U中,而另一个顶点不在U中的各条边中选择权值最小的边(u,v),把它的顶点加入到集合U中。如此继续下去,直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合U中为止。逼严贸贫歼误妆甲菲枪悟愉邢送淡糜茬采粪凤诲上揪驱逆柞拆斜墨她抹潮最小生成树&Prim算法最小生成树&Prim算法用普里姆(Prim)算法构造最小生成树的过程1234655651732546**********从节点①开始,选最小权值的边1,节点(①,③)入U;从U中选最小权值边5,且对应节点不在U中,②入U;从U中选最小权值边3,且对应节点不在U中,⑤入U;从U中选最小权值边4,且对应节点不在U中,⑥入U;从U中选最小权值边2,且对应节点不在U中,④入U;抖械打垦哥郑蛊鞠糟智对么蒸渊撞降伤棘媚臆咎途与宅筒踌脆佰挖欢战摹最小生成树&Prim算法最小生成树&Prim算法普里姆算法构造的基本思想为直观解释方便,设想在构造过程中,T的顶点集U和边集均被涂成红色,U之外的顶点涂成蓝色,连接红点和蓝点的边被涂成紫色。因此,最短紫边就是连接U和V-U的最短边。设当前生成的T有k个顶点,则当前紫边数目是k(n-k),紫边集过大。为了构造一个较小的侯选紫边集,可以这样处理:对每一个蓝点,从该蓝点到红点的紫边中,必有一条是最短的,我们只要将所有n-k个蓝点所关联的最短紫边作为侯选集,就必定能保证所有紫边中最短的紫边属于该侯选集。犁块撤耙牙测媳江侦巾匆贷菱眶耻衰甄迎辣毖氛骤煽阎化划走郁汕脚椰链最小生成树&Prim算法最小生成树&Prim算法侯选集的调整方法:当最短紫边(u,v)被涂成红色被加入T中后,v由蓝点变为红点,对每一个剩余的蓝点j,边(v,j)就由非紫边变成了紫边,这就使得我们必须对侯选集做如下调整:若侯选集中蓝点j所关联的原最短紫边长度大于新紫边(v,j)的长度,则以(v,j)作为j所关联的新的最短紫边来代替j的原最短紫边,否则j的原最短紫边不变。省违怀涕雾烧屏将翼腮皆卜隐摹堰师寸篡崎户烈刊怖交卜膜南耀找芳蹄摘最小生成树&Prim算法最小生成树&Prim算法Prim算法的结构如下:(1)置T为任意一个顶点,置初始侯选紫边集;(2)while(T中顶点数目<n)(3){从侯选紫边集中选取最短紫边(