巴斯普定理及其证明.doc

05物体平衡的种类概念规律:1、平行力的合成与分解物体所受的几个力的作用线彼此平行,且不作用于一点,即为平行力(系)。在平行力的合成或分解的过程中,必须同时考虑到力的平动效果和转动效果,后者要求合力和分力相对任何一个转轴的力矩都相同。两个同向平行力的合力其方向与两个分力方向相同,其大小等于分力大小之和。其作用线在两个分力作用点的连线上。合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。例如:两个同向平行力FA和FB,其合力的大小F=FA+FB,合力作用点O满足AO·FA=BO·FB的关系。两个反向平行力的合力其方向与较大的分力方向相同,其大小等于分力大小之差。其作用线在两个分力作用点的连线的延长线上,且在较大的分力的外侧。合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。例如:两个反向平行力FA和FB的合成其合力的大小F=FB-FA(假如FB>FA,则F和FB同向)其合力的作用点满足AO·FA=BO·FB的关系。一个力分解成两个平行力,是平行力合成的逆过程。2、重心和质心重心是重力的作用点。质心是物体(或由多个物体组成的系统)质量分布的中心。物体的重心和质心是两个不同的概念,当物体远离地球而不受重力作用时,重心这个概念就失去意义,但质心却依然存在。对于地球上体积不太大的物体,由于重力与质量成正比,重心与质心的位置是重合的。但当物体的高度和地球半径比较不能忽略时,两者就不重合了,如高山的重心比质心要低一些。质心位置的定义表达式是一个矢量表达式,能够写成三个分量表达式:其意义能够这样理解:假定由多质点组成的物体被分成许多小块,每块都有相同的质量m,物体总质量等于块数(设为N块)乘以每块质量m,第一式能够改写成:即等于各小块的位置Xi之和除以块数N。因此,在假定每块质量相等时XC,就是所有Xi的平均值。如果其中有一块(设第i块)的质量是其它小块质量的两倍,则在求和时,相应的Xi应出现两次。这能够设想把此两倍的质量的小块分成相等的两块即可看出。因此,XC是所有质量在X方向上的平均位置,其中每小块质量所计算的次数都正比于这个质量自身。这就是人们常说的,质心位置是以质量为权重的加权位置平均值。质心位置的求法:(1)定义法根据定义式是求质心位置最普遍最基本的方法。首先建立直角坐标,再利用直角坐标下定义式给出质心的位置。对质量连续分布的物体,计算中通常要用到积分,对于中学生来说暂时还无力求解。因此,此法通常用于质量离散分布或系统能够等效成离散质点情况的处理。(2)实验室质量作平面分布的物体用实验法求质心位置较为简便。在此平面物体上,选两点A和B(设A、B和质心不在同一直线上),分别作为悬挂点,悬挂在垂直于平面的光滑转轴上,过悬挂点的两个铅垂线的交点即为质心位置。(3)对称法如果一个物体质量分布具有轴对称性,例如质量平面均匀分布的菱形物体,其质心必处在对角线上,两对角线的交点即为此菱形的质心位置。这是因为垂直于对称轴方向上,轴两旁的正负坐标的质量对应相等。(4)分割法这种方法把整个物体分割成质心易求的若干部分,再把各部分看成位置在各自质心处、并具有该部分质量的质点,再依质心定义表达式求出整个物体的质心位置。如下左图的棒锤,假设匀质球A质量为M、半径为R;匀质棒B质量为m、长度为l,求它的重心。第一种方法是将它分隔成球和棒两部分,然后用同向平行力合成的方法找出其重心C。C在AB连线上,且AC·M=BC·m(如下右图)。(5)负质量法容易看出,负质量法本质上是分割法的一种推论,依然是把整个物体分割成质心易求的几个部分。不同的是,每一部分既能够是正质量,也能够是负质量。同样,将棒锤看成一个对称的“哑铃”和一个质量为—M的球A′的合成(如下左图),用反向平行力合成的方法找出其重心C,C在AB连线上,且BC·(2M+m)=A′C·:BC=M(R+l/2)/(M+m)证明方法与分割法相同。有时,根据质心的定义,我们还可用坐标法求物体系的质心。通常把物体分割成n个部分,求得这n个部分的质量分别为m1,m2,…,mn。所受的重力相应为m1g,m2g,…mng。又求得它们的重心(质心)的坐标分别为(x1,,y1,z1),(x2,y2,z2),…,(xn,yn,zn)。由于这n个部分所受的重力Gi=mig(i=1,2,…,n)可看作是平行力,故可用类似于求同向平行力合力的方法,求得这n个平行力合力的作用点位置(xC,yC,zC),得出整个物体质心(重心)的位置坐标为上例中,以B点为原点,水平向右为。轴正方向,则A、B的合质心的位置为:即:负号表示质心的位置在B点左侧(如上右图)。用坐标法求物体的重心是比较方便的。坐标法与分隔法—样,都是由平行力的合成方法推导出来的,有兴趣的读者能够尝试推导一下。(6)巴普斯定理及其推论对于质量连续分布的物